Contribution à l'imagerie sismique par inversion des formes d'onde pour les équations d'ondes harmoniques: estimation de stabilité, analyse de convergence, expériences numériques utilisant des algorithmes d'optimisation à grande échelle.

In this project, we investigate the recovery of subsurface Earth parameters. We considerthe seismic imaging as a large scale iterative minimization problem, and deploy the FullWaveform Inversion (FWI) method, for which several aspects must be treated. The recon-struction is based on the wave equations because the characteristics of the measurementsindicate the nature of the medium in which the waves propagate. First, the natural het-erogeneity and anisotropy of the Earth require numerical methods that are adapted andefficient to solve the wave propagation problem. In this study, we have decided to workwith the harmonic formulation, i.e., in the frequency domain. Therefore, we detail themathematical equations involved and the numerical discretization used to solve the waveequations in large scale situations.The inverse problem is then established in order to frame the seismic imaging. It isa nonlinear and ill-posed inverse problem by nature, due to the limited available data,and the complexity of the subsurface characterization. However, we obtain a conditionalLipschitz-type stability in the case of piecewise constant model representation. We derivethe lower and upper bound for the underlying stability constant, which allows us to quantifythe stability with frequency and scale. It is of great use for the underlying optimizationalgorithm involved to solve the seismic problem. We review the foundations of iterativeoptimization techniques and provide the different methods that we have used in this project.The Newton method, due to the numerical cost of inverting the Hessian, may not always beaccessible. We propose some comparisons to identify the benefits of using the Hessian, inorder to study what would be an appropriate procedure regarding the accuracy and time.We study the convergence of the iterative minimization method, depending on differentaspects such as the geometry of the subsurface, the frequency, and the parametrization. Inparticular, we quantify the frequency progression, from the point of view of optimization,by showing how the size of the basin of attraction evolves with frequency.Following the convergence and stability analysis of the problem, the iterative minimiza-tion algorithm is conducted via a multi-level scheme where frequency and scale progresssimultaneously. We perform a collection of experiments, including acoustic and elasticmedia, in two and three dimensions. The perspectives of attenuation and anisotropic re-constructions are also introduced. Finally, we study the case of Cauchy data, motivated bythe dual sensors devices that are developed in the geophysical industry. We derive a novelcost function, which arises from the stability analysis of the problem. It allows elegantperspectives where no prior information on the acquisition set is required.Dans ce projet, nous étudions la reconstruction de milieux terrestres souterrains. L’imageriesismique est traitée avec un problème de minimisation itérative à grande échelle, et nousutilisons la méthode de l’inversion des formes d’ondes (Full Waveform Inversion, FWImethod). La reconstruction est basée sur des mesures d’ondes sismiques, car ces ondessont caractérisées par le milieu dans lequel elles se propagent. Tout d’abord, nous présen-tons les méthodes numériques qui sont nécessaires pour prendre en compte l’hétérogénéité etl’anisotropie de la Terre. Ici, nous travaillons avec les solutions harmoniques des équationsdes ondes, donc dans le domaine fréquentiel. Nous détaillons les équations et l’approchenumérique mises en place pour résoudre le problème d’onde.Le problème inverse est établi afin de reconstruire les propriétés du milieu. Il s’agitd’un problème non-linéaire et mal posé, pour lequel nous disposons de peu de données.Cependant, nous pouvons montrer une stabilité de type Lipschitz pour le problème inverseassocié avec l’équation de Helmholtz, en considérant des modèles représentés par des con-stantes par morceaux. Nous explicitons la borne inférieure et supérieure pour la constantede stabilité, qui nous permet d’obtenir une caractérisation de la stabilité en fonction de lafréquence et de l’échelle. Nous revoyons ensuite le problème de minimisation associé à lareconstruction en sismique. La méthode de Newton apparaît comme naturelle, mais peutêtre difficilement accessible, dû au coup de calcul de la Hessienne. Nous présentons unecomparaison des méthodes pour proposer un compromis entre temps de calcul et précision.Nous étudions la convergence de l’algorithme, en fonction de la géométrie du sous-sol, lafréquence et la paramétrisation. Cela nous permet en particulier de quantifier la progres-sion en fréquence, en estimant la taille du rayon de convergence de l’espace des solutionsadmissibles.A partir de l’étude de la stabilité et de la convergence, l’algorithme de minimisa-tion itérative est conduit en faisant progresser la fréquence et l’échelle simultanément.Nous présentons des exemples en deux et trois dimensions, et illustrons l’incorporationd’atténuation et la considération de milieux anisotropes. Finalement, nous étudions le casde reconstruction avec accès aux données de Cauchy, motivé par les dual sensors dévelop-pés en sismique. Cela nous permet de définir une nouvelle fonction coût, qui permet deprometteuses perspectives avec un besoin minimal quant aux informations sur l’acquisition