Reconstruction adaptative des signaux par optimisation convexe

We consider the problem of denoising a signal observed in Gaussian noise.In this problem, classical linear estimators are quasi-optimal provided that the set of possible signals is convex, compact, and known a priori. However, when the set is unspecified, designing an estimator which does not ``know'' the underlying structure of a signal yet has favorable theoretical guarantees of statistical performance remains a challenging problem. In this thesis, we study a new family of estimators for statistical recovery of signals satisfying certain time-invariance properties. Such signals are characterized by their harmonic structure, which is usually unknown in practice. We propose new estimators which are capable to exploit the unknown harmonic structure of a signal to reconstruct. We demonstrate that these estimators admit theoretical performance guarantees, in the form of oracle inequalities, in a variety of settings.We provide efficient algorithmic implementations of these estimators via first-order optimization algorithm with non-Euclidean geometry, and evaluate them on synthetic data, as well as some real-world signals and images.Nous considérons le problème de débruitage d'un signal ou d'une image observés dans le bruit gaussien. Dans ce problème les estimateurs linéaires classiques sont quasi-optimaux quand l'ensemble des signaux, qui doit être convexe et compact, est connu a priori. Si cet ensemble n'est pas spécifié, la conception d'un estimateur adaptatif qui ``ne connait pas'' la structure cachée du signal reste un problème difficile. Dans cette thèse, nous étudions une nouvelle famille d'estimateurs des signaux satisfaisant certains propriétés d'invariance dans le temps. De tels signaux sont caractérisés par leur structure harmonique, qui est généralement inconnu dans la pratique.Nous proposons des nouveaux estimateurs capables d'exploiter la structure harmonique inconnue du signal è reconstruire. Nous démontrons que ces estimateurs obéissent aux divers "inégalités d'oracle," et nous proposons une implémentation algorithmique numériquement efficace de ces estimateurs basée sur des algorithmes d'optimisation de "premier ordre." Nous évaluons ces estimateurs sur des données synthétiques et sur des signaux et images réelles