The strong formulation of the finite elemet method for quasi-static analysis of transmission lines

Pojava brzih računskih mašina dovela je poslednjih decenija do pojave niza numeričkih metoda za proračun, odnosno modelovanje elektromagnetskog (EM) polja. Istraživanje novih numeričkih metoda je konstantno aktuelno jer postoji neprestana potreba za poboljšanjem efikasnosti, tačnosti i brzine računanja. Jedna od često i multidisciplinarno primenjivanih metoda je metoda konačnih elemenata (FEM). U skoro čitavoj raspoloživoj literaturi prikazana je tzv. slaba FEM formulacija. Ona se zasniva na funkcijama bazisa koje su izvan domena operatora koji opisuje analizirani problem, a koji je tipično diferencijalni operator drugog reda. Osim toga, najveći broj prikazanih metoda se zasniva na aproksimaciji niskog, odnosno prvog reda. Jaka FEM formulacija je malo zastupljena u literaturi i njoj je posvećen mali broj radova. Prvi radovi iz ove oblasti su pokazali da jaka formulacija može imati određene prednosti u odnosu na slabu. Ove prednosti se ogledaju u koncepcionoj jednostavnosti i jednostavnijem i prirodnijem definisanju graničnih uslova. Kako je razvoj jake FEM formulacije u začetku, prirodno je bilo da se ona prvo razvije za dvodimenzionalne statičke i kvazistatičke probleme. Tipičan primer ovakvih problema su oklopljeni vodovi. Osnovni cilj istraživanja ove doktorske disertacije je teorijsko i praktično zasnivanje jake FEM formulacije (Galerkinova varijanta FEM-a) za zatvorene dvodimenzionalne elektromagnetske probleme, tj. probleme kod kojih su granični uslovi zadati eksplicitno. Osim toga, pojedinačni ciljevi bili su kreiranje softvera na osnovu zasnovane numeričke metode, proučavanje karakteristika nove formulacije i primena nove formulacije na proračun vodova sa TEM talasom. Najpre je dat pregled u literaturi poznatih čvorno zasnovanih funkcija bazisa. Zatim su, polazeći od u literaturi poznatih jednodimenzionalnih funkcija bazisa formirane jake dvodimenzionalne funkcije bazisa. One zadovoljavaju granične uslove prve i druge vrste na granicama pravougaonih konačnih elemenata na koje je izdeljen računski domen. Funkcije bazisa su definisane tako da čine hijerarhijski skup, pri čemu je posvećena pažnja koncepcionoj jednostavnosti. Uočen je najniži red aproksimacije, odnosno minimalan red jakih funkcija bazisa. Proučene su funkcije bazisa za homogene, nehomogene, izotropne, anizotropne i biizotropne sredine. Zatim je jaka FEM formulacija primenjena u kvazistatičkoj analizi oklopljenih vodova, što je ilustrovano na većem broju jednostavnijih primera za koje u literaturi postoje ili analitička rešenja, ili rešenja visoke tačnosti. Dobijeni rezultati su upoređeni sa rezultatima dobijenim drugim numeričkim metodama, kao i sa rezultatima dobijenim slabom FEM formulacijom. Upoređivanjem rezultata dobijenih jakom FEM formulacijom sa rezultatima iz literature, uočeno je da postoji odlično slaganje. Pri tome se zadovoljavajuća tačnost postiže za nizak red funkcija bazisa, obično minimalan, a konvergencija rezultata je stabilna. Kako prikazane funkcije bazisa nisu čvorno zasnovane, povećanje stepena aproksimacije (reda funkcija bazisa) ne unosi dodatne čvorove. To znači da se dodatno ne komplikuje mreţa konačnih elemenata, što predstavlja veliku prednost nad čvorno zasnovanim funkcijama bazisa. Upoređivanjem rezultata dobijenih jakom formulacijom sa rezultatima dobijenim slabom formulacijom pokazalo se da jake funkcije bazisa, za istu tačnost rešenja, zahtevaju daleko manji broj nepoznatih. Dalje je izvršen pregled i kritička analiza formulacija FEM-a za otvorene probleme. Zatim je predložena nova, hibridna FEM-MoM metoda za otvorene statičke probleme zasnovana na specijalnim funkcijama bazisa na granici računskog domena i primeni Green-ovog identiteta. Specijalne funkcije bazisa su iz skupa jakih funkcija bazisa. Predložena metoda ne zahteva, barem ne eksplicitno, uvođenje novih nepoznatih. Na kraju su analizirani mogući dalji pravci istraživanja.The advent of powerful computing machines has in recent decades led to the emergence of numerous numerical methods for electromagnetic (EM) field computation and modeling. The research of new numerical methods perpetually constitutes a mainstream activity, since there is a continuous need for improvement of efficiency, accuracy and computation speed. One of frequently and multi-disciplinary used methods is the finite element method (FEM). In almost all available literature, the so called weak FEM formulation is described. It utilizes basis functions that are outside the domain of the operator describing the analyzed problem, which is typically a second-order differential operator. Moreover, the largest number of existing methods is based on the low order, i.e., first-order or second-order, approximations. Strong FEM formulation is underrepresented in the literature, and it is pursued in a small number of papers. The first papers in this field showed that the strong formulation may have certain advantages over the weak formulation, manifested in conceptual simplicity and easier and more natural definition of boundary conditions. Because the development of strong formulations is in its beginning, a natural choice was to start with a two-dimensional static and quasi-static problems. Typical examples of these problems are shielded transmission lines. The main aim of this PhD thesis is theoretical and practical establishment of the strong FEM formulation (Galerkin version of FEM) for closed two-dimensional electromagnetic problems, i.e., problems for which the boundary conditions are given explicitly. Additional objectives were to create the software based on the established numerical methods, study the features of the new formulation, and apply the new formulation in analyses of TEM-wave transmission lines. Firstly, an overview of the literature of the known node-based basis functions is given. Then, starting from the known literature on one-dimensional basis functions, two-dimensional basis functions are created. They satisfy the boundary conditions of the first and second kind on rectangular finite element borders into which the computational domain is segmented. The basis functions are defined as a hierarchical set, whereby attention is given to their conceptual simplicity. The lowest order, i.e., the minimal order for the strong formulation, approximation is observed. Basis functions for homogeneous, inhomogeneous, isotropic, anisotropic, and biisotropic media are studied. Afterwards, the strong FEM formulation is applied to the quasistatic analysis of shielded cables, which is illustrated by a number of simple examples for which analytical solutions or solutions of high accuracy exist in the literature. The obtained results are compared with numerical results obtained by other methods, as well as with the results obtained by the weak FEM formulation. Good agreement of the results obtained by the strong FEM formulation and the results from the literature is observed. At the same time, satisfactory accuracy is achieved using low-order basis functions, usually minimal, and good convergence is obtained. As the proposed basis functions are not node-based, increasing the degree of approximation (increasing the order of basis functions) does not introduce additional nodes. Hence, no additional complexness is introduced in the finite element mesh, which is a big advantage over the node-based basis functions. Comparing the results obtained by the strong FEM formulation with the results obtained by the weak FEM formulation, it is proved that strong basis functions require far fewer unknowns for the same accuracy. Subsequently, an overview and critical analysis are given of the FEM formulation for open problems. Then, a new hybrid FEM-MoM method for open static problems is proposed, based on special basis functions on the border of both computational domains and application of Green’s identity. These special basis functions belong to a set of strong basis functions. The proposed method does not require introduction of new unknowns, at least not explicitly. In the end, possible directions for future research are analyzed