Contribution à l'analyse numérique de problèmes d'évolution : comportements asymptotiques et applications à l'équation de Schrödinger

Je regroupe dans ce manuscrit d'habilitation à diriger les recherchesl'ensemble des travaux que j'ai réalisés au sein d'Inria. Il s'agit de questions decomportement de méthodes numériques d'intégration de problèmes d'évolution entemps issus de la modélisation, déterministe ou stochastique, de systèmes physiques.On aborde des question quantitatives, proposant et analysant des méthodes d'ordreélevé pour des équations de Schrödinger non-linéaires permettant par exemple desimuler efficacement des condensats de Bose Einstein en rotation. On considèreaussi des méthodes numériques appliquées à des problèmes stochastiques (équationsdifférentielles de Poisson, équation de Schrödinger non-linéaire avec dispersionaléatoire), en proposant et analysant des méthodes d'ordre 1.On aborde également des questions qualitatives, en analysant le comportement entemps long de méthodes numériques. On s'intéresse notamment à la préservation dela régularité des solutions de l'équation de Schrödinger linéaire par des méthodesde décomposition en temps. On propose une étude des méthodes de décompositionavec sous-cyclage pour l'intégration en temps de problèmes multi-échelles, montrantsur des exemples qu'il est possible que l'ordre asymptotique d'une méthode soitstrictement supérieur à son ordre local. Enfin, on propose des discrétisations enespace, en vitesse et en temps de l'équation de Fokker Planck inhomogène et l'onmontre qu'il est possible d'utiliser au niveau discret des méthodes hypocoercivesgarantissant la convergence exponentielle des solutions numériques vers un étatd'équilibre.On aborde enfin des questions plus directement en lien avec la physique. On utilisedes méthodes numériques pour simuler le phénomène d'instabilité modulationnelledans les fibres optiques à dispersion variable en dispersion normale et validerune analyse théorique de ce phénomène. On étudie le comportement vis-à-vis desparamètres de dispersion des solitons de Peregrine et de Kuznetsov Ma dans desfibres en dispersion anormale. Enfin, on compare la réponse d'un quantum dotde deux électrons prévue par plusieurs modèles physiques à une forte et courteexcitation magnétique, au-delà de la réponse linéaire