Un peu de théorie des nombres et de calcul formel au service de l'arithmétique des ordinateurs

Dans ce mémoire, j'évoque les travaux de recherche que j'ai menés depuis mon doctorat. L'essentiel de mon activité est consacrée à l'arithmétique des ordinateurs et, plus précisément, à l'évaluation de fonctions en machine. Un objectif général de mon travail est l'amélioration de la qualité (précision, fiabilité, garantie), de la vitesse et du coût (en mémoire, en énergie, en silicium) des calculs en machine. On souhaite pouvoir ainsi produire des logiciels fiables, rapides et portables et du matériel (processeurs, systèmes embarqués par exemple) rapide, fiable et moins coûteux.Une caractéristique de mon approche de ces questions d'arithmétique des ordinateurs est la mobilisation d'outils de théorie des nombres, plus précisément d'approximation diophantienne, et de calcul formel, plus précisément de calcul symbolique-numérique, pour modéliser et attaquer ces problèmes. Dans la première et principale partie de ce texte, je présente les travaux que j'ai réalisés, en collaboration, sur l'évaluation des fonctions élémentaires : j'étudie l'approximation sous contraintes sur les coefficients, l'arrondi correct de l'évaluation de la fonction ou encore la certification de l'erreur d'approximation. Les sujets des thèses que j'ai co-encadrées relèvent tous de cette première partie.Dans la seconde partie, j'évoque brièvement la mise au point d'algorithmes de bas niveau pour accélérer certaines primitives pour le calcul flottant ou la cryptologie à clé publique (couplages sur des courbes elliptiques) et mes travaux en approximation diophantienne