Modèles d'endommagement à gradient en grandes déformations

Gradient damage models, also known as phase-field models, are now widely used to model brittle and ductile fracture, from the onset of damage to the propagation of a crack in various materials. Yet, they have been mainly studied in the framework of small deformation, and very few studies aims at proving their relevance in a finite deformation framework. This would be more helpful for the tyre industry that deals with very large deformation problems, and has to gain insight into the prediction of the initiation of damage in its structures.The first part of this work places emphasis on finding analytical solutions to unidimensional problems of damaging viscous materials in small and large deformation.In all the cases, the evolution of damage is studied, both in the homogeneous and localised cases. Having such solutions gives a suitable basis to implement these models and validate the numerical results.A numerical part naturally follows the first one, that details the specificities of the numerical implementation of these non local models in large deformation. In order to solve the displacement and damage problems, the strategy of alternate minimisation (or staggered algorithm) is used. When solved on the reference configuration, the damage problem is the same as in small deformation, and consists in a bound constraint minimisation. The displacement problem is non linear, and a mixed finite element method is used to solve a displacement-pressure problem. A quasi-incompressible Mooney-Rivlin law is used to model the behaviour of the hyperelastic material. Various tests in 2D and 3D are performed to show that gradient damage models are perfectly able to initiate damage in sound, quasi-incompressible structures, in large deformation.In the simulations depicted above, it should be noted that the damage laws combined to the hyperelastic potential results in an initiation of damage that takes place in zones of high deformation, or in other words, in zones of high deviatoric stress. However, in some polymer materials, that are known to be quasi-incompressible, it has been shown that the initiation of damage can take place in zones of high hydrostatic pressure. This is why an important aspect of the work consists in establishing a damage law such that the material be incompressible when there is no damage, and the pressure play a role in the damage criterion. Such a model is exposed in the third part.Finally, the last part focuses on the cavitation phenomenon, that can be understood as the sudden growth of a cavity. We first study it as a purely hyperelastic bifurcation, in order to get the analytical value of the critical elongation for which cavitation occurs, in the case of a compressible isotropic neo-hookean material submitted to a radial displacement. We show that there is a competition between the cavitation phenomenon and the damage, and that depending on the ratio of the critical elongation for damage and the critical elongation for cavitation, different rupture patterns can appear.Les modèles d'endommagement à gradient, aussi dénommés modèles à champs de phases, sont désormais largement utilisés pour modéliser la rupture fragile et ductile, depuis l'initiation de l'endommagement jusqu'à la propagation d'une fissure. Cependant, la majorité des études disponibles dans la littérature ne concerne que le cadre des petites déformations, et très peu d'études poussées ont été menées afin d'étudier leur pertinence dans un contexte de grandes déformations. Ce serait pourtant d'un intérêt primordial, notamment pour l'industrie pneumatique, qui deviendrait alors capable de prédire plus précisément l'initiation de l'endommagement dans ses structures.Dans la première partie de ce travail, nous établissons des solutions analytiques d'évolution de l'endommagement (homogène et localisée) pour des matériaux visqueux, en petites et en grandes déformations. En petites déformations, les modèles rhéologiques de Maxwell et Poynting-Thomson sont étudiés, et en grandes déformations, les modèles de Maxwell et Zener sont choisis. Une étude sur l'évolution de l'endommagement dans un cas purement hyperélastique est aussi menée.A cette première partie analytique succède une partie numérique, qui détaille l'implémentation des modèles d'endommagement à gradient dans des codes éléments finis en grandes déformations. De même qu'en petites déformations, une stratégie de minimisation alternée est adoptée pour résoudre successivement les problèmes d'endommagement et de déplacement. Le matériau suit une loi de Mooney-Rivlin quasi-incompressible, et une méthode mixte en déplacement-pression est utilisée. Des tests en 2D et 3D sont effectués, qui mettent en évidence la capacité des modèles à initier de l'endommagement en grandes déformations.Les modèles d'endommagement utilisés pour la seconde partie ne sont cependant capables d'initier de l'endommagement que dans les zones où la déformation est importante, c'est-à-dire dans les zones de forte contrainte déviatorique. Il a toutefois été montré que certains matériaux polymères, quasi-incompressibles, s'endommagent dans les zones de forte pression hydrostatique. Par conséquent, la recherche et l'étude d'un modèle d'endommagement capable d'initier de l'endommagement dans les zones de forte pression, pour des matériaux quasi-incompressibles lorsqu'ils sont sains, fait l'objet d'une troisième partie.Enfin, la croissance brusque de cavités dans un matériau hyperélastique, appelée phénomène de cavitation, est étudiée, ainsi que son interaction avec l'endommagement. Dans un premier temps, nous considérons la cavitation comme une simple bifurcation hyperélastique d'un matériau néo-hookéen compressible isotrope, et déterminons l'expression analytique de l'élongation critique pour laquelle la cavitation fait son apparition. Dans un second temps, nous montrons qu'il y a une compétition entre la cavitation et l'endommagement, et qu'en fonction de la valeur du ratio des élongations critiques respectives pour chaque phénomène, deux types de rupture apparaissent