Propriétés géométriques et arithmétiques explicites des courbes

Algebraic curves are central objects in algebraic geometry. In this thesis, we consider these objects from different angles of algebraic geometry such as computational algebraic geometry and arithmetic geometry. In the first chapter, we study non-hyperelliptic curves of genus g and their Jacobians linked via theta characteristic divisors. Such divisors provide extrinsic geometric properties which allow us to compute theta constants. In the second chapter, we focus on hyperelliptic curves of genus 2 and the associated Kummer surface with a cryptographic motivation. In the third and final chapter, we examine unramified double covers of non-hyperelliptic curves of genus g to obtain information about p-rank.Les courbes algébriques sont des objets centraux de la géométrie algébrique. Dans cette thèse, nous étudions ces objets sous différents angles de la géométrie algébrique tels que la géométrie algébrique effective et la géométrie arithmétique. Dans le premier chapitre, nous étudions les courbes non-hyperelliptiques de genre g et leurs jacobiennes liées par l’intermédiaire de diviseurs thêta caractéristiques. Ces derniers contiennent des propriétés géométriques extrinsèques qui permettent de calculer les constantes thêta. Dans le deuxième chapitre, nous nous concentrons sur les courbes hyperelliptiques de genre 2 et leur surface de Kummer associée avec une motivation cryptographique. Dans le troisième et dernier chapitre, nous étudions les revêtements doubles non-ramifiés des courbes non-hyperelliptiques de genre g pour obtenir des informations sur le p-rang