Numerical evaluation of Mellin-Barnes integrals in Minkowskian regions and their application to two-loop bosonic electroweak contributions to the weak mixing angle of the Zbb(bar)-vertex

In der Z-Boson-Resonanzphysik sind mehrere Präzisionsobservablen in einem perfekten Zustand, bei dem die theoretische Unsicherheit niedriger ist als die gegenwärtige experimentelle Unsicherheit. Das Konzept für den zukünftigen Teilchenbeschleuniger Future Circular Collider (FCC), will eine Verbesserung der Messungen für die Präzisionsobservablen um ein bis zwei signifikante Stellen erreichen. Damit werden die Vorhersagen des elektroschwachen Standardmodells in eine Situation versetzt, in der vollständige Zweischleifenkorrekturen zusammen mit den führenden Dreischleifenkorrekturen obligatorisch werden. 2016 wurden die vollständigen Zweischleifenkorrekturen für den effektiven schwachen Mischungswinkel für die bottom Quarks sin^2/theta/^b_eff berechnet, indem die fehlenden bosonischen Zweischleifenkorrekturen bereitgestellt wurden. Dabei liegt die Schwierigkeit in der Berechnung der entsprechenden Zwei-Schleifen Vertex-Feynman-Integrale, die mehrere massive Teilchen einschließen. Gegenwärtig ist die analytische Rechnung der meisten dieser Integrale schwierig und deswegen werden rein numerische Techniken, mittels Sektorzerlegungsansatz und der Integralansatz nach Mellin-Barnes, angewandt. Es war bis vor kurzem nicht bekannt, wie Mellin-Barnes-Integraldarstellungen in den minkowskischen Integrationsgebieten numerisch behandelt werden können. Um dieses Problem anzugehen, stellen wir eine Vielzahl von ein- und mehrdimensionaler Techniken vor, die ein Teil des neuen Programms MBnumerics.m sind, welches in dieser Dissertation entwickelt wurde. Der Sektorzerlegungsansatz und der Integralansatz nach Mellin-Barnes sind zusammen ausreichend, um elektroschwache Zweischleifenkorrekturen für die Präzisionsobservablen der Annihilation von e^+e^- in zwei Fermionen in der Z-Bosonresonanz auszurechnen. Aktuell führt dies zu der genauesten Vorhersage für den effektiven elektroschwachen Mischungswinkel für bottom Quarks sin^2/theta/^b_eff = 0.232312.In the Z-boson resonance physics several precision observables are in a perfect state, where the theory uncertainty is lower than the present experimental uncertainty. The ambitious concepts for the future collider, Future Circular Collider (FCC), aim for an improvement of measurements for the precision observables by one to two significant digits. This will put the Electroweak Standard Model predictions in a situation where complete two-loop corrections together with the leading three-loop corrections will become mandatory. The complete two-loop corrections for effective weak mixing angle for bottom quarks sin^2/theta/^b_eff were reported recently, by providing the missing bosonic two-loop corrections. The difficult task in this computation is the calculation of the corresponding two-loop vertex Feynman integrals which include several massive particles. At present the analytic evaluation for most of these integrals is out of reach and purely numerical techniques were applied. Only two methods, sector decomposition approach and the Mellin-Barnes integral approach, are known to extract infrared and ultraviolet singularities in a systematic way for a general Feynman integral with fully automatized algorithms. It was not known until recently how to treat Mellin-Barnes integral representations in Minkowskian regions numerically. To address this problem we introduce and discuss in detail a variety of one- and multi-dimensional techniques, which are part of a new program MBnumerics.m developed in this thesis work. Two techniques, sector decomposition and Mellin-Barnes integral approach, are together sufficient to treat electroweak two-loop corrections to the precision observables for the e^+e^- annihilation into two fermions at the Z-boson resonance. This leads to the most precise prediction at present for the effective weak mixing angle for bottom quarks: sin^2/theta/^b_eff=0.232312