Symétries et corrélations dans les gaz quantiques fortement interagissants à une dimension

The main focus of this thesis is the theoretical study of strongly interacting quantum mixtures confined in one dimension and subjected to a harmonic external potential. Such strongly correlated systems can be realized and tested in ultracold atoms experiments. Their non-trivial permutational symmetry properties are investigated, as well as their interplay with correlations. Exploiting an exact solution at strong interactions, we extract general correlation properties encoded in the one-body density matrix and in the associated momentum distributions, in fermionic and Bose-Fermi mixtures. In particular, we obtain substantial results about the short-range behavior, and therefore the high-momentum tails, which display typical k^−4 laws. The weights of these tails, denoted as Tan’s contacts, are related to numerous thermodynamic properties of the systems such as the two-body correlations, the derivative of the energy with respect to the one-dimensional scattering length, or the static structure factor. We show that these universal Tan’s contacts also allow to characterize the spatial symmetry of the systems, and therefore is a deep connection between correlations and symmetries. Besides, the exchange symmetry is extracted using a group theory method, namely the class-sum method, which comes originally from nuclear physics. Moreover, we show that these systems follow a generalized version of the famous Lieb-Mattistheorem. Wishing to make our results as experimentally relevant as possible, we derive scaling laws for Tan’s contact as a function of the interaction, temperature and transverse confinement. These laws. Display displadisplay display interesting effects related to strong correlations and dimensionality.L’objectif principal de cette thèse est l’étude théorique de mélanges quantiques fortement interagissants à une dimension et soumis à un potentiel externe harmonique. De tels systèmes fortement corrélés peuvent être réalisés et testés dans des expériences d’atomes ultrafroids. Leurs propriétés de symétrie par permutation non triviales sont étudiées, ainsi que leurs effets sur les corrélations. Exploitant une solution exacte pour des interactions fortes, nous extrayons des propriétés générales des corrélations encodées dans la matrice densité à un corps et dans les distributions des impulsions associées, dans les mélanges fermioniques et de Bose-Fermi. En particulier, nous obtenons des résultats substantiels sur le comportement à courtes distances, et donc les queues à haute impulsions, qui suivent des lois en k^−4 typiques. Les poids de ces queues, dénotés contacts de Tan, sont liés à de nombreuses propriétés thermodynamiques des systèmes telles que les corrélations à deux corps, la dérivée de l’énergie par rapport à la longueur de diffusion unidimensionnelle, ou le facteur de structure statique. Nous montrons que ces contacts universels de Tan permettent également de caractériser la symétrie spatiale des systèmes, et constituent donc une connexion profonde entre les corrélations et les symétries. En outre, la symétrie d’échange est extraite en utilisant une méthode de théorie des groupes, à savoir la méthode de la somme des classes (class-sum method en anglais), qui provient à l’origine de la physique nucléaire. De plus, nous montrons que ces systèmes suivent une version généralisée du fameux théorème de Lieb-Mattis. Souhaitant rendre nos résultats aussi pertinents expérimentalement que possible, nous dérivons des lois d’échelle pour le contact de Tan en fonction de l’interaction, de la température et du confinement transverse. Ces lois présentent des effets intéressants liés aux fortes corrélations et à la dimensionnalité