Cartes aléatoires hyperboliques

This thesis falls into the theory of random planar maps, which has been active in the last fifteen years, and more precisely into the study of hyperbolic models.We are first interested in a model of dynamical random triangulations based on edge-flips, where we prove a lower bound on the mixing time.In the rest of this thesis, the main objects that we study are the random hyperbolic triangulations called PSHT. These are hyperbolic variants of the Uniform Infinite Planar Triangulation (UIPT), and were introduced by Nicolas Curien in 2014. We first establish a near-critical scaling limit result: if we let the hyperbolicity parameter go to its critical value at the same time as the distances are renormalized, the PSHT converge to a random metric space that we call the hyperbolic Brownian plane. We also study precise metric properties of the PSHT and of the hyperbolic Brownian plane, such as the structure of their infinite geodesics. We obtain as well new properties of the Poisson boundary of the PSHT.Finally, we are interested in another natural model of hyperbolic random maps: supercritical causal maps, which are obtained from supercritical Galton--Watson trees by adding edges between vertices at the same height. We establish metric hyperbolicity results about these maps, as well as properties of the simple random walk (including a positive speed result). Some of the properties we obtain are robust, and may be generalized to any planar map containing a supercritical Galton--Watson tree.Cette thèse s'inscrit dans la théorie des cartes planaires aléatoires, active depuis une quizaine d'années, et plus précisément dans l'étude de modèles de nature hyperbolique.Dans un premier temps, nous nous intéressons à un modèle de triangulations aléatoires dynamiques basé sur les flips d'arêtes, et nous montrons une borne inférieure sur le temps de mélange de ce modèle.Dans la suite, l'objet d'étude principal est une famille de triangulations aléatoires hyperboliques, appelées PSHT. Il s'agit de variantes de la triangulation uniforme du plan (UIPT), qui ont été introduites en 2014 par Nicolas Curien. Nous commençons par établir un résultat de limite d'échelle quasi-critique : si on renormalise les distances tout en faisant tendre le paramètre d'hyperbolicité vers sa valeur critique, les triangulations étudiées convergent vers un espace métrique aléatoire appelé plan brownien hyperbolique. Nous étudions également des propriétés métriques fines des PSHT et du plan brownien hyperbolique, et notamment la structure de leurs géodésiques infinies. Nous présentons aussi de nouvelles propriétés de la frontière de Poisson des PSHT.Enfin, nous nous intéressons à un autre modèle naturel de cartes aléatoires hyperboliques : les cartes causales surcritiques, qui sont construites à partir d'arbres de Galton--Watson surcritiques, en ajoutant des arêtes entre sommets de même hauteur. Nous établissons des résultats d'hyperbolicité métrique, ainsi que des propriétés de la marche aléatoire sur ces cartes, dont un résultat de vitesse positive. Certaines des propriétés obtenues sont robustes, et peuvent se généraliser à n'importe quelle carte planaire contenant un arbre de Galton--Watson surcritique