Reconstruction of a discontinuous function by interpolation data using rectangular element

Робота присвячена обґрунтуванню методу відновлення розривної функції двох змінних за інтерполяційними даними та алгоритму знаходження ліній розриву, за допомогою розривних інтерполяційних чи апроксимаційних білінійних сплайнів, використовуючи ректангуляцію області. Інформацією про функцію є її односторонні значення у вузлах прямокутної сітки, причому лінії розриву наперед невідомі та не співпадають з лініями ректангуляції. Доведені теореми про необхідну кількість ітерацій запропонованого методу для досягнення потрібної точності. Введено поняття e - неперервності функції двох змінних. На його основі розроблено алгоритм виявлення ліній розриву першого роду білінійної функції двох змінних, використовуючи розривний апроксимаційний білінійний сплайн. Викладений метод дозволяє визначити лінії розриву експериментально заданої розривної функції та обрати оптимальні вузли сітки наближуючого розривного білінійного сплайну. Розглянуто приклади, які підтверджують ефективність запропонованого методу. Вподальшому планується розробити узагальнюючий алгоритм відновлення розривної функції, розриви якої будуть лежати на більш складних лініях.The paper deals with justification of the method for reconstructing a discontinuous function of two variables by interpolation data and an algorithm for finding the lines of discontinuity, using discontinuous interpolation or approximation bilinear splines and the region's reсtangulation. Information about the function is its one-way values at the nodes of the rectangular grid, and the discontinuous lines are not known in advance and do not coincide with the lines of rectangulation. Theorems on the necessary number of iterations of the proposed method for achieving the required accuracy are proved. The concept of e - continuity of a function of two variables is introduced. On the basis of this algorithm, an algorithm for detecting the lines of discontinuity of the first kind of a bilinear two variables function using a discontinuous approximate bilinear spline was developed. The proposed method makes it possible to determine the lines of discontinuity of an experimentally given discontinuous function and to select the optimal grid nodes for the approximating discontinuous bilinear spline. The examples that confirm the effectiveness of the proposed method are considered. Further, it is planned to develop a general algorithm for restoring a discontinuous function, the discontinuities of which lie on more complex lines