Réécriture de dimension supérieure et cohérence appliquées à la catégorification et la théorie des représentations

In this thesis, we study applications of rewriting theory to categorification problems and representation theory. We apply rewriting methods to coherence problems in linear categories and computation of decategorifications.Proofs of coherence results for monoids and monoidal categories by rewriting methods are well known. In particular, several constructions based on Squier's results lead to the computation of coherent presentations of higher-dimensional categories from the confluence diagrams of convergent rewriting systems. In this memoir, we extend those constructions to coherence results for higher-dimensional linear categories.We introduce linear polygraphs to present higher-dimensional linear categories by rewriting systems. We then develop the main rewriting properties of these systems. We focus next on the applications of those properties to the study of categorification problems such that the computation of Grothendieck decategorification by rewriting methods. Another result we obtain on higher-dimensional polygraphs is a generalization of the Knuth-Bendix procedure to higher-dimensional polygraphs. This new procedure allows us to complete presentations of higher-dimensional categories which do not necessarily admit a termination order induced by any orientation of rules.We also study general coherence problems. Given a confluent and quasi-terminating polygraph, we define a globular extension of this polygraph called decreasing Squier's completion. We prove that this extension makes aspherical the free higher-dimensional category over the given polygraph. This result generalizes a result of Squier to the case of non terminating presentations.Finally, we focus on the applications of those properties to higher-dimensional linear categories such that the category AOB defined by Brundan, Comes, Nash and Reynolds. We find by rewriting methods the bases of the morphisms spaces of AOB that Brundan, Comes, Nash and Reynolds exhibitedDans cette thèse, nous présentons des applications de la réécriture à l'étude de problèmes issus de la catégorification et de la théorie des représentations. En particulier, nous appliquons les méthodes de réécriture aux problèmes de cohérence dans les catégories linéaires et au calcul de décatégorifications. Des méthodes de réécriture ont été développées pour obtenir des résultats de cohérence dans les monoïdes et les catégories monoïdales présentés par des systèmes de réécriture nommés polygraphes. Ces constructions basées sur des résultats de Squier permettent en particulier de calculer des présentations cohérentes de catégories de dimension supérieure à partir des diagrammes de confluence de polygraphes convergents. Dans ce mémoire, nous étendons ces constructions pour obtenir des résultats de cohérence dans les catégories linéaires de dimension supérieure. Nous introduisons les polygraphes linéaires afin de présenter les catégories linéaires de dimension supérieure par des systèmes de réécriture. Nous étudions ensuite les propriétés de réécriture de ces systèmes. Nous donnons une description polygraphique du calcul de décatégorification de Grothendieck. Nous généralisons également la procédure de Knuth-Bendix appliquée aux polygraphes de dimension supérieure. Cette procédure permet de compléter des présentations de catégories de dimension supérieure n'admettant pas nécessairement d'ordre de terminaison induit par une orientation des règles. De plus, nous étudions des problèmes de cohérence dans les catégories de dimension supérieure. Etant donné un polygraphe confluent et quasi-terminant, nous introduisons une notion de complétion de Squier de ce polygraphe composée de diagrammes de décroissance. Nous prouvons que cette complétion rend asphérique la catégorie de dimension supérieure libre sur ce polygraphe. Ce résultat généralise un résultat de Squier au cas des présentations quasi-terminantes. Nous présentons enfin les applications des propriétés des polygraphes linéaire à l'étude de la catégorie AOB définie par Brundan, Comes, Nash et Reynolds. Nous retrouvons par des méthodes de réécriture les bases des espaces de morphismes de AOB exhibées par Brundan, Comes, Nash and Reynold