Subvarieties of quotients of bounded symmetric domains

We present a new criterion for the complex hyperbolicity of a non-compact quotient X of a bounded symmetric domain. For each p ≥ 1, this criterion gives a precise condition under which the subvarieties V ⊂ X with dim V ≥ p are of general type, and X is p-measure hyperbolic. Then, we give several applications related to ball quotients, or to the Siegel moduli space of principally polarized abelian varieties. For example, we determine effective levels l for which the moduli spaces of genus g curves with l-level structures are of general type.On présente un nouveau critère pour l'hyperbolicité complexe d'un quotient non compact X d'un domaine symétrique borné. Pour chaque p ≥ 1, ce critère donne une condition précise sous laquelle les sous-variétés V ⊂ X telles que dim V ≥ p sont de type général, et X est p-mesure hyperbolique. Ensuite, on donne plusieurs applications aux quotients de la boule, ou l'espace de modules de Siegel pour les variétés abéliennes principalement polarisées. Par exemple, on détermine des niveaux effectifs l pour que les espaces de modules des courbes de genre g avec une structure de niveau l soient de type général