Limit theorems for random fields

Az értekezés első részében autoregressziós típusú martingál mezőket tanulmányozok. Kiindulva Fazekas István korábbi eredményeiből, sikerült kiterjeszteni az autoregressziós típusú martingálokra vonatkozó eredményeket d-paraméterű esetre. A disszertáció második és harmadik részében határérték-tételeket bizonyítok úgynevezett „sűrűsödő-növekvő” sémára. A dolgozatom szempontjából fontos előzmény, hogy Ibragimov és Linnik alfa-keverő folyamatokra, Guyon alfa-keverő mezőkre, Fazekas és Kukush pedig alfa-keverő mezők esetén „sűrűsödő-növekvő” sémára bizonyítanak határérték-tételeket. Fazekas és Kukush nem közöl részletes bizonyítást, ezért jelen munkám második részében rögzítem a bizonyítás lépéseinek részleteit, valamint foglalkozom a tétel p-dimenziós kiterjesztéseivel is. A dolgozatom harmadik részének témája a regressziós függvény magfüggvényes becslése. Nadaraya és Watson 1964-ben közölt eredményeit számos cikkben feldolgozták és általánosították. A korábbi eredményekből kiindulva sikerült a regressziós függvény aszimptotikus normalitását bizonyítani alfa- keverő mezőkre „sűrűsödő-növekvő” tartományt tekintve. Dolgozatomból kiderül, hogy ez az eset a diszkrét és a folytonos idejű esetek között helyezkedik el. A generalization of d-parameter martingales is studied. A d-parameter process is called an autoregressive martingale field if it satisfies certain autoregressive type stochastic difference equations. An almost sure convergence theorem is proved for autoregressive martingale fields. Detailed proofs of central limit theorems are given for mixing random fields. The results cover the case when the locations of the observations become dense in an increasing sequence of domains. The asymptotic normality of the Nadaraya–Watson regression estimator is studied for alfa-mixing random fields. The infill-increasing setting is considered, that is when the locations of observations become dense in an increasing sequence of domains. This setting fills the gap between continuous and discrete models. In the infill-increasing case the asymptotic normality of the Nadaraya–Watson estimator holds, but with an unusual asymptotic covariance structure. It turns out that this covariance structure is a combination of the covariance structures that we observe in the discrete and in the continuous case