Gráfok additív függvényei és alkalmazásaik

A matematika és ezen belül az algebra fontos problémáinak hátterében gyakran kombinatorikai megfontolások állnak. Ilyen módon pédául gráfelméleti eredmények illetve azok általánosításai választ adnak Lie algebrai és bizonyos algebrai-geometriai kérdésekre. Jelen dolgozatban olyan problémákkal foglalkozunk, amelyek az előbb említett algebrai alkalmazásoktól elvonatkoztatott tisztán kombinatorikai kérdésekhez vezetnek. Közben ismert gráfelméleti fogalmak - pl: többszörös élekkel rendelkező gráfok, azok csúcsain értelmezett függvények, stb. - általánosításaihoz jutunk, melyek önmagukban is érdekes problémákat vetnek föl. A matematika nagyon sok ágazatában előfordulnak a Dynkin gráfok, és a belőlük egy csúcs hozzávételével nyert Euklideszi gráfok. Szakdolgozatunk első része ezeknek a nevezetes gráfoknak a származtatását írja le két egymástól eltérő módszer segítségével. Az első fejezet elméleti úton, a Lie algebrák tulajdonságait felhasználva jut el a Dynkin gráfokig, a második fejezet a gráf csúcsain értelmezett pozitív additív függvény létezésével jellemzi az Euklideszi gráfokat. Ha egy gráfon irányítást adunk meg, értelmezhetünk rajta egy tükrözések kompozíciójából álló un. Coxeter transzformációt. A harmadik fejezetben ennek tulajdonságait tárgyaljuk, kiemelve a gráf illetve a Coxeter transzformáció spektrumának kapcsolatát. A gráfon értelmezett függvények additív tulajdonságának egy lehetséges általánosítása a majdnem additivitás fogalma, mely lehetőséget nyújt olyan módszerek bevezetésére, melyeknek alkalmazásával additív gráfok nyerhetők. Ilyen - példákkal is szemléltetett - konstrukciós módszerekkel foglalkozunk az negyedik fejezetben. Az additivitástól való eltérés mérésére használt deviáció kiszámítására képleteket adunk. Egyúttal a deviáció és a Coxeter transzformáció karakterisztikus polinomjának kapcsolatára is sikerül újat mondanunk. Kiegészítésként bevezetjük a szubadditivitás fogalmát, és ennek segítségével jellemezzük a Dynkin gráfokat, rámutatva azok reprezentációelméleti jelentőségére.B