Résultats de régularité et d'existence pour des ensembles minimaux ; Problème de Plateau

Solving the Plateau problem means to find the surface with minimal area among all surfaces with a given boundary. Part of the problem actually consists of giving a suitable definition to the notions of “surface”, “area” and “boundary”. In our setting the considered objects are sets whose Hausdorff area is locally finite. The sliding boundary condition is given in term of a one parameter family of compact deformations which allows the boundary of the surface to moove along a closed set. The area functional is related to capillarity and free-boundary problems, and is a slight modification of the Hausdorff area.We focused on minimal boundary cones ; that is to say tangent cones on boundary points of sliding minimal surfaces. In particular we studied cones contained in an half-space and whose boundary can slide along the bounding hyperplane. After giving a classification of one-dimensional minimal cones in the half-plane we provided four new two-dimensional minimal cones in the three-dimensional half space (which cannot be obtained as the Cartesian product of the real line with one of the previous cones). We employed the technique of paired calibrations and in one case could also generalise it to higher dimension.In order to prove that the provided list of minimal cones is complete, we started the classification of cones satisfying the necessary conditions for the minimality, and with numeric simulations we obtained better competitors for these new candidates.Résoudre le Problème de Plateau signifie trouver la surface ayant l’aire minimale parmi toutes les surfaces avec un bord donné.Une partie du problème réside dans le fait de donner des définitions appropriées aux concepts de “surface”, “aire” et “bord”. Dans notre contexte les objets considérés sont ensembles dont la mesure de Hausdorff est localement finie. La condition de bord glissant est donnée par rapport à une famille à un paramètre de déformations compactes laquelle permet au bord de glisser le long d'un ensemble fermé. La fonctionnelle à minimiser est liée aux problèmes de capillarité et de frontière libre.On s'est intéressé aux cônes minimaux glissants, c'est à dire les cônes tangents aux surfaces minimaux glissantes dans des points sur son bord. En particulier on a étudié les cônes contenus dans un demi-espace dont le bord peut glisser le long l'hyperplane bornant le demi-espace. Après avoir donné une classification des cônes minimaux de dimension un dans le demi-plan on a présenté quatre nouveau cône minimaux de dimension deux dans le demi-espace (lesquels ne peuvent pas être obtenus comme un produit cartésien d'un des cône précédents avec la droite réelle). La technique utilisé c'est les calibrations couplées, qui dans un cas on a pu généraliser en grands dimensions.Afin de montrer que la liste des cônes minimaux est complète on a entamé la classification des cônes qui satisfont les conditions nécessaires pour la minimalité, pour lesquels on a obtenu des meilleurs compétiteurs à l'aide des simulations numériques