Double complexes and Hodge structures as vector bundles

Im ersten Teil der Arbeit werden Doppelkomplexe über Körpern und die zugehörigen Kohomologietheorien untersucht. Das Hauptbeispiel ist der Doppelkomplex von glatten komplexwertigen Differentialformen auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit. Hauptresultate: Ein Zerlegungssatz für allgemeine beschränkte Doppelkomplexe, ein Beispiel einer holomorphen Abbildung kompakter Mannigfaltigkeiten, die die Hodge-Filtrierung nicht strikt respektiert und eine Berechnung der zu Aufblasungen und projektiven Bündeln gehörigen Doppelkomplexe. Im zweiten Teil werden, aufbauend auf Arbeiten von Goncharov, Kapranov, Penacchio und Simpson, gemischte Hodge-Strukturen aus der Sicht von Torus-äquivarianten Vektorbündeln untersucht. Hauptresultate u.A.: Ein GAGA-Prinzip für torische Vektorbündel, eine alternative Definition Katos archimedischer Höhen sowie Rekonstruktionen der Gewichtsfiltrierung als Harder-Narasimhan Filtrierung und gemischter Hodge-Strukturen als Darstellungen einer Wegegruppe.In the first part of the thesis, double complexes over fields and the associated cohomology theories are investigated. The main example is the double complex of smooth complex-valued differential forms on a compact complex manifold. Main results: A decomposition theorem for general bounded double complexes, an example of a holomorphic map of compact complex manifolds which does not respect the Hodge filtration strictly and a calculation of the double complexes associated with blowups and projective bundles. In the second part, building on works of Goncharov, Kapranov, Penacchio and Simpson, Mixed Hodge Structures are investigated from the point of view of toric vector bundles. Main results include: A GAGA-principle for toric vector bundles, an alternative definition of Katos archimedian heights and reconstructions of the weight filtration as a Harder Narasimhan filtration and of Mixed Hodge Structures as representations of a group of loops.