FE Simulations for the Plate Equation on Large Deformations

Das Ziel dieser Diplomarbeit ist ein Modell für die Plattendeformationen unter Beachtung großer Verzerrungen sowie die Implementierung einer entsprechenden FE-Simulation. Durch Einsetzen der Kirchhoff-Hypothese in die nichtlineare statische dreidimensionale Elastizitätstheorie wird die Gesamtenergie einer deformierten Platte einzig und allein durch die Verschiebungen ihrer Mittelfläche beschrieben. Minimieren dieser Energie führt auf ein nichtlineares Variationsproblem, welches mit Hilfe des Newton-Verfahrens und der Finiten-Elemente-Methode numerisch gelöst werden kann. Dafür werden die Formeln des Energiefunktionals sowie der notwendigen zwei Linearisierungen angegeben. Mit der weiteren Annahme, dass sich die Normale der Mittelfläche nicht ändert, wird eine FE-Implementierung mit bilinearen Elementfunktionen in der Plattenebene und bikubischen Elementfunktionen, vom Bogner-Fox-Schmidt-Element, in Dickenrichtung hergeleitet.The aim of this thesis is a model for the plate deformations, under consideration of large strains, and the implementation of a suitable FE simulation. Starting from nonlinear static 3D elasticity theory and introducing the Kirchhoff assumptions, the total energy of a deformed plate is described solely by the displacements of its midsurface. Minimizing this energy leads to a nonlinear variational problem, which can be solved numerically, using Newton's method and the finite element method. For this purpose, the formulae of the energy functional and its necessary two linearizations are provided. With the further assumption that the normal of the midsurface does not change, an FE implementation is derived, with bilinear element functions in the in-plane-direction and bicubic element functions, from the Bogner-Fox-Schmidt-element, in the out-of-plane-direction