Schémas volumes finis préservant l’asymptotique pour le système de Saint-Venant à perturbations singulières avec terme source

The shallow water equations are of quite an importance for modelling oceanic flows as a simple approximation of the water wave equations, which describe the gravity-driven free surface flows, when the fluid is incompressible, homogeneous, inviscid, and the pressure is only hydrostatic, owing to the shallowness assumption, that is the horizontal length scale is much larger than the vertical one. For the shallow water equations, the Froude number characterises the dominance of advective modes compared to gravity (acoustic) modes as the ratio of the bulk velocity to the speed of gravity waves. For the large-scale oceanic phenomena, the Froude number is often small; so, the gravity waves are too fast to contribute to the bulk motion, i.e., they do not affect the solution of the large-scale macroscopic model. For a time-explicit numerical treatment, though, one should devise a method to tackle these fast waves to avoid high computational costs as they restrict the time step through the Courant--Friedrichs--Lewy (CFL) condition. The approach considered throughout this manuscript is to decompose the system into slow and fast parts and to employ an implicit-explicit (IMEX) strategy, i.e., to treat the fast part implicitly and the slow part explicitly. In addition to the efficiency problem attached to this singularly-perturbed system, one should be careful about the limiting scheme, i.e., if the scheme provides a consistent and stable approximation of the zero-Froude system (lake equations). Even if the convergence to the limit can be shown for the continuous model, preserving such a convergence for the discrete (numerical) model, along with stability and consistency, is by no means trivial and should be carefully analysed. This motivates adopting the framework of asymptotic preserving (AP) schemes introduced by [Jin, SIAM J. Sci. Comp. 21(2) (1999), pp. 441--454], with the Froude number as the scaling singular parameter. AP schemes are defined as schemes mimicking such a convergence to the limit for the discrete model, e.g., in virtue of uniform consistency and stability. In this manuscript, we consider two IMEX flux-splitting finite volume schemes for the shallow water equations with uniform consistency and stability w.r.t. the Froude number: the Lagrange-projection IMEX scheme and the reference solution IMEX scheme. The LP-IMEX scheme is a Godunov-type scheme, which decomposes the system into the acoustic and the transport systems, and employs a Lagrangian formulation for the former. Unfortunately, it is involved in some inherent accuracy issues especially in multiple dimensions, which need to be taken care of; so, we investigate it only for the one-dimensional system. The main focus would be on the RS-IMEX scheme, which decomposes the solution into the (asymptotic) reference solution and a perturbation around it in order to split the system. We study the RS-IMEX scheme in one and two space dimensions with the bottom topography, and finally, with the additional Coriolis force. For both of these schemes, we present a (rigorous) asymptotic analysis to justify the uniform consistency and stability of the scheme w.r.t. the Froude number, and to corroborate the AP property. We also test the quality of the solutions computed by the RS-IMEX scheme in several numerical examples, particularly for the low-Froude regime.Les équations en eaux peu profondes jouent un rôle important dans la modélisation des écoulements océaniques en tant que simple approximation des équations des vagues, qui décrivent les écoulements de surface libres par gravité, lorsque le fluide est incompressible, homogène, non visqueux et que la pression est uniquement hydrostatique. en raison de l'hypothèse de faible profondeur, c'est-à-dire que l'échelle de longueur horizontale est beaucoup plus grande que celle verticale. Pour les équations en eau peu profonde, le nombre de Froude caractérise la prédominance des modes advectifs par rapport aux modes gravitaires (acoustiques) comme le rapport entre la vitesse globale et la vitesse des ondes de gravité. Pour les phénomènes océaniques à grande échelle, le nombre de Froude est souvent faible; ainsi, les ondes de gravité sont trop rapides pour contribuer au mouvement de masse, c'est-à-dire qu'elles n'affectent pas la solution du modèle macroscopique à grande échelle. Pour un traitement numérique explicite dans le temps, il convient de concevoir une méthode pour traiter ces ondes rapides afin d'éviter des coûts de calcul élevés, car elles limitent le pas de temps à travers la condition Courant-Friedrichs-Lewy (CFL). L'approche envisagée dans ce manuscrit consiste à décomposer le système en parties lentes et rapides et à utiliser une stratégie implicite explicite (IMEX), c'est-à-dire à traiter la partie rapide implicitement et la partie lente explicitement. En plus du problème d’efficacité lié à ce système singulièrement perturbé, il faut faire attention au schéma limitant, c’est-à-dire si le schéma fournit une approximation cohérente et stable du système zéro-Froude (équations du lac). Même si la convergence vers la limite peut être montrée pour le modèle continu, préserver une telle convergence pour le modèle discret (numérique), ainsi que la stabilité et la cohérence, n'est nullement trivial et doit être analysé avec soin. Cela motive l'adoption du cadre des schémas de préservation asymptotique (AP) introduits par [Jin, SIAM J. Sci. Comp. 21 (2) (1999), pp. 441-454], avec le nombre de Froude comme paramètre singulier d'échelle. Les schémas AP sont définis comme des schémas imitant une telle convergence vers la limite du modèle discret, par exemple en vertu d'une cohérence et d'une stabilité uniformes. Dans ce manuscrit, nous considérons deux schémas de volumes finis séparateurs de flux IMEX pour les équations en eau peu profonde avec une consistance et une stabilité uniformes. le nombre de Froude: le schéma IMEX de projection de Lagrange et le schéma de la solution de référence IMEX. Le schéma LP-IMEX est un schéma de type Godunov, qui décompose le système en systèmes acoustiques et de transport, et utilise une formulation lagrangienne pour le premier. Malheureusement, elle est impliquée dans certains problèmes de précision inhérents, en particulier dans les dimensions multiples, qui doivent être prises en compte; donc, nous enquêtons uniquement pour le système unidimensionnel. L'accent principal serait mis sur le schéma RS-IMEX, qui décompose la solution en solution de référence (asymptotique) et une perturbation autour de celle-ci afin de diviser le système. Nous étudions le schéma RS-IMEX dans des dimensions à un et deux espaces avec la topographie inférieure et, enfin, avec la force supplémentaire de Coriolis. Pour ces deux schémas, nous présentons une analyse asymptotique (rigoureuse) pour justifier la cohérence et la stabilité uniformes du schéma w.r.t. le nombre de Froude et corroborer la propriété AP. Nous testons également la qualité des solutions calculées par le schéma RS-IMEX dans plusieurs exemples numériques, en particulier pour le régime faible Froude