Approche numérique à l'usage du physicien pour résoudre les équations différentielles ordinaires. I. Cas des équations du premier ordre

LicenceCe document constitue la première partie d'un ensemble qui aurait du voir le jour sous forme d'un livre et qui pour diverses raisons sera finalement publié au détail sur HAL, chapitre par chapitre. Le contenu sert (et a servi) de support de cours pour un enseignement dit de calcul scientifique à l'usage du physicien de niveau Licence et Master1. La motivation de cet ouvrage provient d'un double constat que j'ai fait à l'issue de mon expérience d'une trentaine d'années passées à enseigner diverses matières scientifiques à l'université. Ce constat est particulièrement vrai pour les filières de sciences physiques. Les mathématiques pures ne sont pas vraiment concernées car de véritables cours d'analyse numérique existent dans le but de former de vrais numériciens. Tout d'abord, il n'y a pas véritablement en France de cours dédié à la physique (ou plus générallement science) com-putationnelle au niveau Licence (du L1 au L3). On peut bien sûr trouver des enseignements d'informatique dont le but est d'apprendre la programmation, en utilisant tel ou tel lan-gage. On trouve aussi parfois des cours de calcul scientifique (souvent en option suivant les filières), avec pour but d'initier les étudiants à l'utilisation de techniques numériques alternatives aux méthodes analytiques pour réaliser des opérations mathématiques (comme par exemple inverser une matrice). Dans ce dernier cas, l'enseignement peut parfois se résumer à savoir lancer des sous-programmes déjà écrits et disponibles dans une bibliothèque dédiée. La conséquence naturelle pour les étudiants poursuivant leurs études dans les Masters de physique, est de conduire à d'énormes difficultés dans la mise en oeuvre de la résolution de problèmes concrets. Par exemple, les étudiants sont incapables d'avoir un regard critique sur les résultats et ont tendance à avoir une confiance aveugle dans le programme informatique. Ceci rend alors impossible l'amélioration de leurs algorithmes voire même les corrections d'éventuelles erreurs. Deuxièmement, la recherche moderne en science est basée sur l'utilisation croissante de l'outil numérique. Il est ainsi d'autant plus nécéssaire que les étudiants en physique soient formés en amont afin d'éviter une utilisation de type boîte noire. C'est une situation que l'on retrouve hélas trop souvent car elle permet d'obtenir des résultats rapidement. Cet ouvrage s'adresse donc d'abord à des étudiants de Licence en sciences qui souhaitent s'initier aux méthodes numériques utilisées pour résoudre des problèmes standards de la physique. L'accent est mis particulièrement sur les spécificités inhérentes au calcul numérique par rapport à une démarche analytique par exemple. J'ai délibérément choisi de me restreindre à la résolution de problèmes de type dynamique. Dans ce premier chapitre, nous introduirons uniquement deux méthodes numériques d'intégration que sont les schémas d'Euler et de Runge-Kutta. Ainsi, dans un premier temps, les propriétés (avantages et inconvénients) de ces méthodes seront illustrées pour intégrer des problèmes simples de type relaxation, qui se traduisent par des équations différentielles aux dérivées ordinaires du premier ordre. Dans un deuxième temps, nous comparerons ces méthodes pour la résolution de deux sytèmes dynamiques plus complexes et bien connus