Classification of traveling waves for a quadratic Szegő equation

We give a complete classification of the traveling waves of the following quadratic Szegő equation : $i \partial_t u = 2J\Pi(|u|^2)+\bar{J}u^2, \quad u(0, \cdot)=u_0$, and we show that they are given by two families of rational functions, one of which is generated by a stable ground state. We prove that the other branch is orbitally unstable.Nous donnons la classification complète des solutions "onde progressive" de l'équation de Szegő quadratique suivante : $i \partial_t u = 2J\Pi(|u|^2)+\bar{J}u^2, \quad u(0, \cdot)=u_0$, et nous montrons que celles-ci sont données par deux familles de fractions rationnelles, dont l'une est engendrée par un état fondamental stable. Nous démontrons que l'autre famille de solitons est instable