The elastic-gravitational equations in global seismology with low regularity

Die elastisch-gravitativen Gleichungen, d.h. die Gleichungen der Elastizitätstheorie unter Berücksichtigung der Eigengravitation, beschreiben die Bewegung und das daran gekoppelte zeitlich veränderliche Gravitationsfeld eines elastischen Kontinuums. Dieses System von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung stellt zusammen mit den entsprechenden Rand- und Grenzflächenbedingungen die Grundgleichungen der globalen Seismologie dar. Die Lösungen dieses Systems - sowie seiner Verallgemeinerungen, die auch Wellendämpfung bzw. viskoelastische Rheologie beinhalten - umfassen mannigfaltige Deformationen unseres Planeten; von den hochfrequenten seismischen Raum- und Oberflächenwellen, über die längerperiodischen freien Schwingungen und Gezeitendeformationen, bis hin zu auf großen Zeitskalen ablaufenden Lithosphärenbewegungen, beispielsweise aufgrund glazialer Auflasteffekte. Die vorliegende Arbeit untersucht die elastisch-gravitativen Gleichungen für ein allgemeines, gleichförmig rotierendes, heterogenes Erdmodell, welches neben festem Material auch aus flüssigen Bereichen besteht, die dem äußeren Erdkern oder den Ozeanen entsprechen. Dabei sollen nur minimale Bedingungen hinsichtlich der Glattheit der Materialparameter sowie der Grenzflächengeometrie vorausgesetzt werden. Zu diesem Zweck wird zunächst ein konsistentes mathematisches Erdmodell mit geringer Regularität innerhalb des allgemeinen Rahmens der nichtlinearen Kontinuumsmechanik entwickelt. Dann wird eine Variante der Variationsrechnung in Sobolew-Räumen auf zusammengesetzten Gebieten präsentiert, die es erlaubt, die schwache Formulierung der linearisierten elastisch-gravitativen Gleichungen direkt aus dem Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung abzuleiten. Zum Abschluss werden Existenz und Eindeutigkeit schwacher Lösungen mithilfe der Methode der Energieabschätzungen gezeigt, sowie weitere Regularitätseigenschften diskutiert. Das Ergebnis dieser Arbeit ist ein vollständiges mathematisches Modell für die globale seismische Wellenausbreitung unter dem Einfluss der Eigengravitation und unter geringen Regularitätsannahmen. Dieses Modell kann als theoretische Grundlage für die Weiterentwicklung der Spektraltheorie der Erde sowie für eine Verbesserung der numerischen Modellierung seismischer Wellen dienen. Schließlich stellt es einen mathematisch konsistenten Ausgangspunkt dar, um das inverse Problem der globalen Seismologie unter realistischen Regularitätsannahmen zu untersuchen.The elastic-gravitational equations describe the deformation and the gravitational field of an elastic self-gravitating continuum. These second-order evolutionary partial differential equations, boundary conditions, and interface conditions are the governing equations of global seismology. Solutions of this system - as well as its generalization including wave attenuation and viscoelastic rheology - cover a great variety of the Earth's motions, ranging from the high frequency seismic body and surface waves, the longer-period free oscillations and tidal deformations, to the effects of surface loads like glacial rebound. In this thesis we derive and analyze the system of elastic-gravitational equations for a uniformly rotating composite fluid-solid earth model under minimal assumptions concerning the smoothness of material parameters and interface geometry. For this purpose we first establish a consistent mathematical formulation of the low-regularity planetary model within the general framework of nonlinear continuum mechanics. Then we apply calculus of variations in a Sobolev space setting on composite domains and show how the weak form of the linearized elastic-gravitational equations directly arises from Hamilton's principle of stationary action. Finally we prove existence and uniqueness of weak solutions by the method of energy estimates and discuss additional regularity properties. Thereby we obtain a complete low-regularity variational model for seismic waves in a self-gravitating planet. This model allows to further develop the spectral theory of the Earth, may improve numerical modeling of wave propagation, and eventually provides a basis for investigating the inverse problem in global seismology