Rizičnost vrijednosti

Rizičnost vrijednosti (engl. Value at Risk - Var) jedna je od uobičajenih mjera rizika u financijskoj industriji. VaR mjeri maksimalnu potencijalnu promjenu u vrijednosti portfelja financijskih instrumenata u danom vremenskom periodu uz određenu razinu povjerenja. Statistički gledano, VaR portfelja je kvantil distribucije gubitka portfelja u određenom vremenskom intervalu pri danoj vjerojatnosti. Usprkos mnogim prednostima korištenja VaR metodologije (jednostavna za razumijevanje, vrlo često prisutna u raznim oblicima financijskih softvera), postoje određeni nedostatci - prvenstveno, rizičnost vrijednosti daje lažan osjećaj sigurnosti jer ne mjeri najveći gubitak koji se može dogoditi. Jedan od glavnih ciljeva ovog diplomskog rada je opisati metode aproksimacije rizičnosti vrijednosti u uvjetno Gaussovoj klasi modela (faktori rizika imaju multivarijantnu normalnu distribuciju). Naglasak je na Delta-Gama pristupu u kojem se pretpostavlja da postoji dovoljno dobra kvadratična aproksimacija (kao funkcija faktora rizika) promjene vrijednosti portfelja. Prva metoda za određivanje kvantila distribucije promjene vrijednosti portfelja je Cornish-Fisherova aproksimacija. To je relativno brza metoda koja daje aproksimaciju sa dovoljno dobrom preciznošću u mnogim situacijama u praksi, ali može biti nedovoljno dobra u najlošijim scenarijima. Druga metoda koju promatramo je parcijalna Monte Carlo metoda sa uzorkovanjem po važnosti. Uzorkovanje po važnosti pomaže nam generirati uzorke iz područja koja su važnija za naš problem. Parcijalna Monte-Carlo metoda je sporija, ali i preciznija od Cornish-Fisherove aproksimacije. Drugi važan cilj ovog diplomskog rada je objasniti primjenu copula u određivanju rizičnosti vrijednosti. Copule su funkcije koje se koriste za opisivanje zavisnosti između slučajnih varijabli sa proizvoljnim marginalnim distribucijama. Na kraju opisujemo postupak za računanje rizičnosti vrijednosti pomoću copula.Value at Risk, often referred to as VaR, is a commonly used risk measure in the financial industry. Value at Risk measures the maximum potential change in value of a portfolio of financial instruments with a given probability over a pre-set horizon. Statistically speaking, the VaR of a portfolio is the quantile of the distribution of that portfolio’s loss over a specifed time interval, at a given probability level. Despite many advantages of using VaR methodology (simple to understand, frequently available in various types of financial software), there are certain drawbacks - most importantly, it creates a false sense of security because Value at Risk does not measure worst case loss. One of the main goals of this graduate thesis is to describe Value at Risk approximating methods in conditional Gaussian class of models (i.e. the risk factors are assumed to be joint normal). The emphasis is being placed on Delta-Gamma approach where the assumption is that there is a reasonably good quadratic approximation (as a function of risk factors) of the change in the portfolio’s value. Our first method used to determine a quantile of the distribution of the change in the portfolio’s value is called Cornish-Fisher approximation. It is a relatively fast method that gives approximations with sufficient accuracy in many practical situations but it can be mediocre in worst-case scenarios. The second method that we examine is partial MonteCarlo method with importance sampling. Importance sampling method helps us generate more samples from the region that is more important for the problem at hand. Partial Monte-Carlo method is slower, but more accurate than Cornish-Fisher approximation. The second main goal of this graduate thesis is explaining the applications of copulas for the calculation of Value at Risk. Copulas are functions that can be used to describe the dependence between random variables with arbitrary marginal distributions. In the end we describe the procedure for computing VaR with copulas