Homogénéisation et contrôle optimal pour des problèmes de Stokes et pour un problème de torsion élastique

This thesis is devoted to the study of optimal control and homogeneization for some problems associated to the Stokes equation and also for an elastic torsion problem. For each of the problems, a control act on the state equation. This control belongs to a set of admissible controls. We consider a cost function wich depends on the state and on the control. The control optimal (unique) is the function in the set of admissible controls which minimizes the cost function. Then we study its behaviour. If it admits a limit, we characterize it as an optimal control associated to the homogenized problem. In the first part, we study an optimal control problem in a mixture of two fluids. Those fluids are distributed periodically in a bi or three-dimensionnal domain. Each fluid obeys the Stokes equations. In the second part, we study also a mixture of two fluids but separated by an rapidly oscillating interface. These fluids obeys the Stoke equations. In the third part, we study an optimal control problem for the Stokes equations in perforated domains. We suppose that the size of the perforations is smaller than a given period. In the last part, we study the optimal control of an elastic torsion problem. For each of these parts, we characterize the limit of the optimal control as the optimal control of the limit problemCette thèse est consacrée à l'étude du contrôle optimal et de l'homogénéisation de quelques problèmes liés à l'équation de Stokes ainsi qu'au problème de torsion élastique. Pour chaque problème étudié, nous imposons un contrôle à l'équation d'état. Ce contrôle appartient à un ensemble appelé « ensemble de contrôles admissibles». On se donne une fonction coût qui dépend à la fois de l'état mais aussi du contrôle. Le contrôle optimal (unique) est la fonction dans l'ensemble de contrôles admissibles qui minimise la fonction coût pour tous les contrôles dans cet ensemble. On étudie alors le comportement limite de celui-ci. S'il admet une limite, on la caractérise si possible, comme étant le contrôle optimal associé au problème limite homogénéisé. Dans la première partie, on se propose d'étudier un problème de contrôle optimal dans un mélange de deux fluides. Ces deux fluides sont répartis périodiquement l'un par rapport à l'autre dans un domaine bi ou tridimensionnel. L'écoulement des deux fluides obéit aux équations de Stokes. Dans la deuxième partie, on s'intéresse encore à un mélange de deux fluides visqueux incompressibles séparés par une interface qui oscille rapidement. Ce problème est régit par les équations de Stockes. Dans la troisième partie, on étudie le contrôle optimal pour les équations de Stockes dans les domaines perforés. On suppose que les perforations sont de taille plus petite qu'une période donnée. Dans la dernière partie, on est amené à étudier le contrôle optimal d'un problème de torsion élastique. Dans chacune de ces parties, on caractérise la limite du contrôle optimal comme étant le contrôle optimal du problème limit