Etude de la structure topologique de l'ensemble des systèmes affines contrôlables en basse dimension

From a topological point of vien this work deals with the structure of a set of affine and controllable systems. From the work of (J.S.), (A.S.V.) it appeared that definite relations exist between topological structure of a set of affine controllable systems Ca and Ch. In particuler the properties of Fr Ca and the connexivy of Ca arise direcly from analogouds properties of Ch. We show that Ca gives rise to two types of boundary points. We can expect to have three types of boundary points. The interior of the closed set Ca contains affine controllable systems for which the trajectories are cycles. For the other cases they are on the exterior boundaries, we also show that the interior of Ca is uniquely composed of (J.S.) and affine controllable systems to which correspond homogeneous non-controllable systems characterized by collinear fields (non-independent spirals). Our result is that the set of affine controllable systems Ca is connectedCe travail traite du point de vue topologique la structure de l'ensemble des systèmes affines contrôlables. D'après les articles (J.S.), (A.S.V.) il est apparu des relations très fortes entre les structures topologiques de l'ensemble des systèmes affines contrôlables Ca et de Ch. En particulier les propriétés de FrCa et la connexité de Ca découlent directement de propriétés analogues pour Ch. On montre que Ca fait apparaitre deux types de points frontières où a priori il aurait pu y avoir trois types de points frontières. L'intérieur de sa fermeture contient les systèmes affines contrôlables pour lesquels les trajectoires sont des cycles, le restant des cas sont sur la frontière de son extérieur. On montre aussi que l'intérieur de Ca est constitué uniquement des (J.S.) et des systèmes affines contrôlables auxquels correspondent les systèmes homogènes non contrôlables caractérisés par les champs colinéaires (spirales liées). Notre résultat est que l'ensemble des systèmes affines contrôlables est connex