Contrôle optimal des systèmes semi-linéaires

The aim of this thesis is to investigate an optimal control problem governed by semilinear systems. We consider a system where the nonlinear term is affine with respect to the control, but nonlinear with respect to the state. Such a system can model an important class of parabolic and hyperbolic semilinear PDEs. The considered problem consists in minimizing a cost functional on a closed convex set of admissible controls. By means of compactness assumptions, the existence of an optimal control is proven for four classes of systems. For two classes among them, the control space is nonreflexive.By differentiating the cost functional, we obtain a necessary optimality condition, taking the form of a variational inequality. This optimality condition is geometrically reformulated, using the notion of normal vector, which leads to the characterization of the optimal control for several classes of systems, with various cases of admissible controls. Afterwards, we formulate a sufficient condition ensuring the uniqueness of the optimal control, when the control space is a Hilbert space, and we develop algorithms in order to numerically compute this control. Finally, the obtained results are illustrated through examples and simulations.L'objet de cette thèse est d'analyser le problème du contrôle optimal des systèmes semi-linéaires. Nous considérons un système dont le terme non-linéaire est affine par rapport au contrôle, et non-linéaire par rapport à l'état, ce qui permet de modéliser une classe importante d'EDP semi-linéaires, paraboliques et hyperboliques. Le problème considéré consiste à minimiser une fonction coût sur un ensemble convexe fermé de contrôles admissibles. Moyennant des hypothèses de compacité, l'existence d'un contrôle optimal est établie pour quatre classes de systèmes, dont deux concernent le cas où l'espace des contrôles n'est pas réflexif.En différentiant la fonction coût, nous établissons une condition nécessaire d'optimalité sous la forme d'une inégalité variationnelle. Cette condition d'optimalité est reformulée par une condition géométrique en introduisant la notion de vecteur normal, ce qui permet de caractériser le contrôle optimal pour plusieurs classes de systèmes, et pour divers cas de contrôles admissibles. Nous formulons ensuite une condition suffisante assurant l'unicité du contrôle optimal, dans le cas où l'espace des contrôles est un espace de Hilbert, et nous développons des algorithmes permettant de calculer numériquement ce contrôle. Finalement, les résultats obtenus sont illustrés par des exemples et des simulations