Sur la forme de Painlevé d'une métrique à symétrie sphérique

En 1921 Paul Painlevé a établi, sans faire un seul calcul, une métrique solution du champ créé par le soleil dans un univers vide. Nous allons montrer comment cette forme de métrique d'une part fourni des solutions pour tout problème gravitationnel ayant une symétrie sphérique, en particulier pour tout modèle d'univers isotrope, et d'autre part établit le passage entre la théorie de Newton et celle d'Einstein de la gravitation. Pour cela nous donnerons la définition newtonienne d'un Lagrangien de Painlevé, et un lemme que nous appellerons théorème de Painlevé qui justifie la forme générale de métrique de Painlevé pour tout problème à symétrie sphérique. Autrement dit le traitement newtonien en utilisant les équations d'Euler-Lagrange dans lesquelles la variable libre temporelle est identifiée au temps propre du corps en chute libre radiale, est équivalent au traitement einsteinien. Des applications sont données avec, en particulier, des résultats nouveaux concernant les modèles d'universosculateurs que constitue les nombreux modèles de de Sitter