Deterministic variational approach to system modelling by data assimilation

A non-asymptotic approach to simultaneous model and state estimation is discussed in this thesis. Specifically, given a cloud of measurement points presumed to represent a dynamical system output trajectory,a linear model is constructed to fit it best. The approach is somewhat similar to variational data assimilation in that it employs a cost functional as a measure of model fitness and computes its gradient by solution of an adjoint sensitivity problem. A kernel system model is first constructed and viewed as a linear finite dimensional subspace of a reproducing kernel Hilbert space (RKHS). The subspace is linearly parametrized by the unknown system constants whose values determine the subspace "orientation" vis à vis the cloud of measurement points. The system constants are found simultaneously with reconstructing the system state. A geometrical interpretation of this process is particularly appealing as it can be visualized as subspace re-orientation in the RKHS by way of minimizing the residual of the modelling error. The method does not employ numerical differentiation techniques. The joint model and state estimation does not require any information about boundary conditions of the presumed dynamical system nor the measurement noise characteristic. Additionally, as the optimization process searches for the best estimates of the system parameters the "empirical" statistical distribution of the modelling residual error can be tested for congruence with a priori knowledge about the measurement noise. The non-parametric Kolmogorov probability density test is used in this thesis to test such congruence. Examples confirm high accuracy of adaptive estimation, but the algorithm is computationally expensive as it employs optimization by iterative search. The fifth chapter of the thesis presents a radical re-formulation of the problem that directly employs the basis functions of the RKHS. Such formulation bypasses the evaluation of the fundamental solutions of the system model and does not require variational techniques. Numerical results pertaining to the latest problem statement will be presented in a forthcoming publication.Cette thèse présente une approche non-asymptotique d'estimation simultanée du modèle du système et de son état. Plus précisément, un modèle linéaire est construit afin de s'ajuster à une trajectoire de sortie de système dynamique représentée par un nuage de points de mesure. L'approche est quelque peu similaire à l'assimilation variationnelle des données en ce sens qu'elle utilise un coût fonctionnel pour obtenir un ajustement de modèle et calcule son gradient par la résolution d'un problème de sensibilité adjoint. Un modèle de système à noyau est d'abord construit et considéré comme un sous-espace linéaire de dimension finie d'un espace de Hilbert à noyau de reproduction (RKHS). Le sous-espace est paramétré de manière linéaire par les constantes inconnues du système dont les valeurs déterminent l'orientation du sous-espace par rapport au nuage de points de mesure. Les paramètres du système sont trouvées simultanément avec la reconstruction de l'état du système. Une interprétation géométrique de ce processus est particulièrement attrayante car elle peut être visualisée comme une réorientation du sous-espace dans le RKHS en minimisant le résidu de l'erreur de modélisation. La méthode n'utilise pas de techniques de différentiation numérique. Le modèle conjoint et l'estimation d'état ne nécessitent aucune information sur les conditions limites du présumé système dynamique ni sur la caractéristique de bruit de mesure. De plus, pendant que le processus d'optimisation recherche les meilleures estimations des paramètres du système, la distribution statistique empirique de l'erreur résiduelle de modélisation peut être testée pour la congruence, avec la connaissance a priori du bruit de mesure. Le test de densité de probabilité non paramétrique de Kolmogorov est utilisé dans cette thèse pour tester une telle congruence. Les exemples confirment la haute précision de l'estimation adaptative, mais l'algorithme est coûteux en calcul car il utilise un processus itératif d'optimisation.Le cinquième chapitre présente une reformulation radicale du problème qui utilise directement les fonctions de base du RKHS. Une telle formulation contourne l'évaluation des solutions fondamentales du modèle de système et ne nécessite pas de techniques variationnelles. Les résultats numériques relatifs au dernier énoncé du problème seront présentés dans une prochaine publication