Critical and supercritical scaling limits of random forests with prescribed degree sequences

In this paper, we consider random plane forests uniformly drawn from all possible plane forests with a given degree sequence. Under suitable conditions on the degree sequences, we consider the possible scaling limits, with respect to the Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology, of a sequence of such forests as the number of vertices tends to infinity. This work falls into the general framework of showing convergence of random combinatorial structures to certain Gromov-Hausdorff scaling limits, described in terms of the Brownian Continuum Random Tree (BCRT), pioneered by the work of Aldous. We study the scaling limit in two regimes: critical and supercritical. In the critical regime we identify the limiting random object as a sequence of random real trees encoded by excursions of some first passage bridges reflected at their minima. We establish such convergence by studying the associated Lukasiewicz walk of the degree sequences. In the supercritical regime, where there is a unique "giant tree" containing all but a vanishing fraction of the nodes, we give a description of the limit of the forest of "small trees" obtained by removing the giant tree. We accomplish this by relating plane forests to marked cyclic forests and the corresponding lattice paths. Our work is closely related to and uses the results from the recent work of Broutin and Marckert on scaling limit of random trees with prescribed degree sequences.Dans cet article, nous considérons les forêts planes aléatoires tirées uniformément de toutes les forêts planes possibles avec une séquence de degrés donnée. Dans des conditions appropriées sur les séquences de degrés, nous considérons les limites d'échelle possibles, par rapport à la topologie de Gromov-Hausdorff-Prokhorov, d'une séquence de telles forêts, lorsque le nombre de sommets tend vers l'infini. Ce travail s'inscrit dans le cadre général de la preuve de la convergence de structures combinatoires aléatoires à certaines limites d'échelle de Gromov-Hausdorff, décrites en termes de l'arbre aléatoire continu brownien (AACB) introduit par Aldous. Nous étudions la limite d'échelle dans deux régimes: critique et supercritique. Dans le régime critique, nous identifions l'objet aléatoire limitant comme une séquence d'arbres réels aléatoires codés par des excursions de certains ponts de premier passage réfléchis à leurs minimas. Nous établissons cette convergence en étudiant la marche de Lukasiewicz associée aux séquences de degrés. Dans le régime supercritique, où il y a un «arbre géant» unique contenant tout sauf une fraction disparaissant des nœuds, nous donnons une description de la limite de la forêt de «petits arbres» obtenue en enlevant l'arbre géant. Nous réalisons ceci en reliant les forêts planes aux forêts cycliques marquées et aux processus de codage correspondants. Notre travail est étroitement lié au travail récent de Broutin et Marckert sur la limite d'échelle des arbres aléatoires avec des séquences de degrés prescrits, et s'appuie sur ces derniers