O misterioso sorriso da volatilidade : além de Black & Scholes. Ultrapassando o modelo de Black & Scholes para explicar o sorriso da volatilidade

O presente trabalho tem como objetivo a demonstração de métodos generalizados para precificação de opções com melhor aderência à realidade. A falha do modelo de Black & Scholes é constatada pelo sorriso da volatilidade implícita. A hipótese assumida na monografia é a de que o erro em B&S está no axima de que os preços seguem um Movimento Browniano Geométrico (MBG). O relaxamento desse axioma, supondo distribuições de probabilidades diferentes da log-normal para os preços, exigiu o desenvolvimento de conceitos matemáticos e da teoria da probabilidade, tais como o cálculo de variáveis complexas e de resíduos e as Transformadas de Fourier, cujo poder na área da economia fica demonstrado com resultados finais. A monografia fornece uma introdução razoavelmente completa do ponto de vista da operacionalização dos conceitos. A etapa seguinte destrinchou o modelo de B&S, através de quatro demonstrações diferentes e de testes empíricos e operacionalização do mesmo utilizando opções da Petrobrás, gerando o sorriso da volatilidade. Em seguida foram demonstrados e testados três métodos generalizados de precificação de opções, iniciando pela Expansão de Edgeworth, demonstrada por Jarrow & Rudd (1982), que consiste em utilizar o MBG como aproximação de ordem zero e expandi-lo para incorporar cumulantes de ordem superior, a skewness e a curtose. O método se mostrou capaz de gerar um sorriso da volatilidade, mas muito limitado devido à falta de liberdade na escolha dos parâmetros desses cumulantes, levando à conclusão de que deve-se usar uma distribuição mais fortemente divergente em relação à Normal. A utilização de uma distribuição de Student generalizada foi capaz de gerar curvas do sorriso da volatilidade bem próximas das observadas. Essa monografia demonstrou dois métodos para precificação com essa distribuição, através da integração direta do payoff com a fdp da distribuição risco-neutra e outro em que o cálculo do prêmio é totalmente realizado no espaço de Fourier. O segundo método se mostrou mais robusto, rápido e flexível, permitindo a utilização de qualquer outra distribuição risco-neutraThe purpose of the present work is to demonstrate generalized option pricing model that has better adherence to reality. Black & Scholes model failure can be confirmed by the existence of the implicit volatility smile. The main hypothesis in this monograph is that the error is due to the axiom that prices follow a Geometric Brownian Motion (GBM). To relax that axiom and assume that prices follow different probability distributions, an introduction to mathematics and probability theory concepts became necessary, such as Fourier Transforms and Complex and Residual Calculus. The final results show the power of such tools, largely used bt physicists and engineers, in the field of economics. This paper analysed the B&S model through four different demonstrations, followed by a demonstration of its operationalization with empirical test using Petrobrás options, extracting the volatility smile at the end of the section. Three methods of generalized option pricing unsing different probability distributions were then demonstrated and tested, starting with Edgeworth Expansion introduced by Jarrow & Rudd (1982). This first method consists in using the GBM as a zero order approximation and expand it to incorporate higher order cumulants, the skewness and kurtosis. The method was successful in generating a volatility smile, but the results were poor compared to reality due to limitations in the values those cumulants can assume, leading to the conclusion that a probability distribution more distinct from the Normal should be used. A generalized Student distribution was then tested, with consistent results. This paper demonstrated two methods using Excel to calculate the option price using this last distribution, through the integral of the payoff function with the risk-neutral probability density function, and another in which the price is completely calculated within the Fourier space. This last method showed up to be stronger, faster and more flexible, allowing for any risk-neutral distribution to be teste