Grafs aleatoris: teoria i aplicacions, de la naturalesa a la societat i al cervell

La teoria dels grafs aleatoris tracta de les propietats asimptòtiques dels grafs dotats d'una determinada distribució de probabilitat; per exemple, estudia com evoluciona l'estructura de les components d'un graf aleatori uniforme a mesura que el nombre d'arestes augmenta. Des de l'inici de la teoria dels grafs aleatoris, formulada per Erd˝os i Rényi fa més de cinquanta anys, s'han introduït i estudiat diversos models de grafs aleatoris. Mentrestant la teoria de grafs s'ha anat obrint camí en altres ciències com una font molt rica de models per a descriure aspectes fonamentals d'un ventall molt ampli de fenòmens de gran complexitat. Aquest article és una introducció a la teoria dels grafs aleatoris i els seus progressos recents (amb èmfasi en la transició de fase i els fenòmens crítics, un tema favorit del primer autor) i a les aplicacions d'aquesta teoria. Es tracta d'una versió ampliada de l'article «Random graphs: from nature to society to the brain» [35] publicat al Seoul Intelligencer, un número especial del Math. Intelligencer, editat en ocasió del Congrés Internacional de Matemàtics que va tenir lloc a Seül l'any 2014