Yüksek Mertebeden Boussinesq Denklemi İçin Fourier Spektral Yöntemi

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015Thesis (M.Sc. ) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2015Yüksek mertebeden Boussinesq denklemi (HBq) utt = uxx+eta1uxxtt-eta2uxxxxtt +(f(u))xx ile verilmektedir. Burada doğrusal olmayan terim f(u) = u^p; p > 1 bir tamsayı olup, eta1 ve eta2 pozitif gerçel değerli parametrelerdir. Denklemdeki x ve t sırasıyla uzaysal ve zamansal değişkenleri temsil etmektedir. Yüksek mertebeden Boussinesq denklemi ilk olarak Rosenau tarafından türetilmiştir. Daha sonra bu denklem Duruk ve diğerleri tarafından sonsuz elastik bir ortamda doğrusal ve yerel olmayan özellikteki boyuna dalgaların yayılımını modellemek için tekrar türetilmiştir. HBq denklemindeki terimlere ek olarak uxxxx doğrusal terimini içeren bir denklem ise Schneider ve Wayne tarafından yüzey gerilimli su dalgalarını modellemek üzere türetilmiştir. Yerel ve doğrusal olmayan dalga denklemi utt = (b*(u+g(u)))xx çekirdek fonksiyonunun Fourier transformunun 1/(1+eta1x^2+eta2x^4) seçilmesi halinde yüksek mertebe Boussinesq denklemine indirgenmektedir. Eğer eta2 = 0 seçilirse yüksek mertebeden Boussinesq denklemi, utt = uxx+eta1uxxtt +(f(u))xx şeklinde literatürde çok iyi bilinen genelleştirilmiş düzgünleştirilmi (improved) Boussinesq denklemine indirgenir. Son yirmi yılda, genelleştirilmiş düzgünleştirilmiş Boussinesq denklemi hem analitik hem de sayısal bir çok çalışmaya konu olmuştur. Literatürdeki sayısal çalışmalar incelendiği zaman genelleştirilmiş düzgünleştirilmiş Boussinesq denklemini çözmek için sonlu farklar, sonlu elemanlar ve spektral yöntemlerin kullanıldışı gözlenmiştir. Yüksek mertebeden Boussinesq denklemi için sadece analitik çalışmalar yapılmıştır. Duruk ve diğerleri tarafından yüksek mertebe Boussinesq denklemi için tanımlanan Cauchy probleminin s > 1/2 iken Hs Sobolev uzayında lokal ve global iyi tanımlılığı için gerekli koşullar verilmiştir. Yüksek mertebeden dispersif terimlerin ve doğrusal olmayan farklı kuvvet tipindeki terimlerin sayısal çözümü nasıl etkilediği üzerinde çalışılması gereken konulardan biridir. Bu tezin amacı yüksek mertebe Boussinesq denklemi için yalnız (soliter) dalga çözümlerini türetmek, denklem için bir sayısal şema önermek, sayısal deneyler yapmak ve şemanın yakınsaklık analizini gerçekleştirmektir. Tez çalışmasının içeriği aşağıda sunulan şekildedir: Bölüm 1'de bu tez çalışmasında kullanılacak temel bilgiler sunulmuştur. Bu bağlamda ilk olarak, bazı temel doğrusal cebir kavramları hatırlatılmış, ayrıca önerilen sayısal yöntemin yakınsaklık analizinde kullanılan özel fonksiyon uzayları ve zayıf türev tanımı verilmiştir. Sürekli ve ayrık Fourier açılımları ve Fourier uzayında türev hesabı da yine bu bölümde anlatılmış ve bunlar arasındaki ilişkinin gözlemlenmesi amacıyla üç örnek sunulmuştur. İlk örnekte sıçrama süreksizliğine sahip bir fonksiyon ele alınmış ve bu fonksiyona sürekli ve ayrık Fourier açılımları yardımıyla yaklaşılmaya çalışılmıştır. İkinci örnekte aynı ilişki sürekli bir fonksiyon üzerinde gösterilmiştir. Üçüncü örnekte ise Fourier uzayında türev hesabı gösterilmiştir. Bölüm 2'de ilk olarak yüksek mertebe Boussinesq denklemi ve literatürde var olan çalışmalar kısaca tanıtılmıştır. HBq denkleminin kütle, enerji ve momentum korunumuna karşı gelen korunan büyüklükleri literatürde türetilmiş olup bu bölümde bu büyüklükler sunulmuştur. Diferansiyel denklemlerin sayısal yöntemlerle çözülmesi durumunda e˘ger gerçek çözüm bilinmiyorsa hata hesabı yapılamamaktadır. Bu sebeple korunan büyüklüklerin zamanla değişimi sayısal şemanın doğruluğunu test etmek için önemli olmaktadır. Bu nedenle sayısal deneyler kısmında Fourier sözde-spektral (pseudo-spectral) şemanın doğruluğunu test etmek için kütle korunumundan faydalanılacaktır. HBq denklemin yalnız dalga çözümleri de yine bu bölümde türetilmiştir. Bunun için yalnız dalga çözümlerini elde etmede oldukça etkili bir yöntem olan yerine koyma (ansatz) yöntemi kullanılmıştır. Bölüm 3'te HBq denkleminin sayısal çözümü incelenmiştir. Bunun için bir Fourier sözde-spektral şema önerilmiştir. İlk olarak, sadece uzay değişkeninin ayrıklaştırılması ile elde edilen yarı-ayrık şema ele alınmış ve yarı-ayrık şemanın uygun uzaylarda tanımlanmış başlangıç koşulları altında yakınsaklığı gösterilmiştir. Daha sonra zaman değişkeninin de ayrıklaştırılmasıyla elde edilen tam-ayrık şema sunulmuştur. HBq denkleminin sayısal çözümleri bu tam-ayrık şema yardımıyla hesaplanmıştır. Çözüm adımları şu şekildedir: i) uzay değişkeni için grid noktalarını oluşturulması, ii) denklemi Fourier uzayına taşınması ve burada Fourier katsayıları cinsinden bir adi türevli diferansiyel denklem elde edilmesi, iii) elde edilen denklemin 4. mertebeden Runge-Kutta yöntemi kullanılarak çözülmesi, iv) ters Fourier dönüşümü yardımıyla sayısal çözümün bulunması. Önerilen şema üç faklı problemin çözülmesi için kullanılmıştır: yalnız dalganın yayılımı problemi, iki yalnız dalganın çarpışması problemi ve sonlu zamanda patlayan çözümler. İlk problem olan tek yalnız dalganın yayılımı durumunda HBq denkleminin analitik çözümleri Bölüm 2'de hesaplanmış olduğundan bu problemde gerçek çözüm ile sayısal çözüm arasındaki hata hesaplanabilmiştir. Bu çalışmada farklı kuvvet tipinde doğrusal olmayan terimler göz önüne alınmıştır. Buradan elde ettiğimiz sonuçlar, sunulan sayısal şemanın çok etkili olduğunu göstermektedir. Ayrıca yine bu problemde, kullanılan sayısal şemanın uzayda eksponansiyel yakınsaklığa zamanda ise 4. mertebe yakınsaklığa sahip olduğu gözlemlenmiştir. Bu sonuçlar beklentilerle uyumludur. Ele alınan diğer problem iki yalnız dalganın çarpışması problemidir. Genel olarak, doğrusal olmayan dalga denklemlerinde verilen parametre değerlerine karşılık farklı hızlarda yayılan yalnız dalgalar elde edilebiliyorken, HBq denklemi için verilen eta1 ve eta2 parametre değerleri için tek bir yalnız dalga çözümü elde edilmektedir. Bu sebeple iki yalnız dalganın çarpışması probleminde eşit hızda ve genlikte olan dalgaların çarpışması problemi göz önüne alınmış ve iki örnek sunulmuştur. Burada çarpışmanın elastik olmadığı, çarpışmadan sonra ortamda çok küçük genlikli ikincil dalgaların varlığı gözlenmiş ve çarpışan dalgaların genlikleri büyüdükçe çarpışmadan sonra oluşan ikincil dalgaların daha belirgin hale geldiği görülmüştür. HBq denklemi ters saçılım yöntemiyle integre edilebilir bir denklem olmadığından bu durum beklentilerimizle uyumludur. Ayrıca iki yalnız dalganın çarpışması probleminde gerçek çözüm elde edilemediğinden sunulan sayısal şemanın doğruluğunu test etmek için korunan büyüklüğün zamanla değişimi sunulmuştur. Son sayısal örnekte ise sonlu zamanda patlayan çözümler incelenmiştir. Bunun için literatürde analitik olarak verilmiş olan patlama koşullarını sağlayacak başlangıç koşulları seçilmiş ve sayısal çözümün L sonsuz normunun zamanla değişimi sunulmuştur. Bildiğimiz kadarıyla Boussinesq tipi denklemlerle ilgili birçok sayısal çalışma olmasına rağmen literatürde yüksek mertebeden Boussinesq denklemi ile ilgili herhangi bir sayısal çalışmaya rastlanmamıştır. Bu sebeple bu tez çalışmasında sunulan sayısal sonuçlar için bir karşılaştırma yapılamamıştır.The higher-order Boussinesq equation (HBq) is given by utt = uxx+eta1uxxtt- eta2uxxxxtt +(f (u))xx where f(u)=u^p; p>1 is an integer. Here eta1 and eta2 are real positive constants. The HBq equation models the longitudinal vibrations of a dense lattice. In this thesis study, we propose a Fourier pseudo-spectral method for the HBq equation. Thesis study is organized as follows: Chapter 1 is devoted to the preliminaries. We briefly review some basic definitions related to linear algebra, some special function spaces and weak derivative. We also introduce continuous and discrete Fourier transforms. We then consider three examples to understand discrete and continuous Fourier expansions and differentiation. In Chapter 2, we first give a brief introduction to the HBq equation and its properties such as conserved quantities. We then derive solitary wave solutions of the HBq equation by using ansatz method which is one of the most effective direct methods to construct the solitary wave solutions of the nonlinear evolution equation. In Chapter 3, we introduce the Fourier pseudo-spectral method for the HBq equation. We first prove the convergence of the semi-discrete scheme in the appropriate energy space. We then define fully-discrete scheme for the HBq equation. Solution steps are (i) constituting the grid points in space, (ii) transforming the equation into the Fourier space and obtaining an ordinary differential equation in terms of Fourier coefficients, (iii) solving the resulting ordinary differential equation by using the fourth-order Runge-Kutta method (RK4), iv) forming the numerical solution from Fourier coefficients by using the inverse Fourier transform. To see the validation of the proposed scheme, we consider three test problems concerning the propagation of a single solitary wave, the interaction of two solitary waves and a solution that blows up in finite time. In these problems, we consider various power type nonlinearities. Our numerical results show that the Fourier pseudo-spectral method exhibits fourth-order convergence in time and provides spectral accuracy in space. As far as we know, the present study is the first numerical study in literature for the HBq equation. Therefore, we couldn't compare our numerical results with the results in literature.Yüksek LisansM.Sc