Maillages hex-dominants : génération, simulation et évaluation

This thesis focuses on generation, usage and evaluation of hex-dominant meshes, which are made of hexaehedra and tetrahedra, in the context of the finite element method. Hexahedron finite elements are often preferred to tetrahedron elements because they offer a better compromise between accuracy and computation time in certain situations. However, if tetrahedral meshing is a well mastered subject, it is not the case of hexahedral meshing. Generating hexahedral meshes with elements aligned to the borders is still an open and difficult problem. Meanwhile, current automated approaches can use hex-dominant meshes in order to take advantage of both hexahedron accuracy and geometrical flexibility of tetrahedra. In the first part, we develop robust algorithms for the generation of hex-dominant meshes with elements aligned with the borders. Specifically, we propose a method to extract and fill the areas where hexahedral meshing is difficult (singularities and degeneracies). In the second part, we try to identify and to quantify the advantages of hexahedral and hex-dominant meshes over tetrehedral ones. This requires to study various ways to apply the finite element method on hybrid meshes, including one in which we propose to use continuity constraints on hexahedral-tetrahedral non-conforming meshes. To measure the impact of meshes on the finite element accuracy, we develop a new sampling method which allows to compute efficiently global distances between finite element solutions defined on complicated 3D domainsCette thèse s'intéresse à la génération, à l'utilisation et à l'évaluation des maillages hex-dominants, composés d'hexaèdres et de tétraèdres, dans la cadre de la simulation numérique par la méthode des éléments finis. Les éléments finis hexaédriques sont souvent préférés aux éléments tétraédriques car ils offrent un meilleur ratio entre précision et temps de calcul dans un certain nombre de situations. Cependant, si la génération automatique de maillages tétraédriques est aujourd'hui un domaine bien maîtrisé, ce n'est pas le cas de la génération de maillages hexaédriques alignés avec le bord, qui reste un problème largement ouvert. En l'absence de progrès significatifs, les approches actuelles se contentent de maillages hex-dominants afin de tirer parti des performances supérieures des hexaèdres et de la flexibilité géométrique des tétraèdres, qui rend possible le maillage automatique. Dans une première partie, nous développons des algorithmes robustes pour la génération de maillages hex-dominants à partir de champs de directions, notamment pour l'isolement et le remplissage des régions difficiles à mailler (singularités et autres dégénérescences). Dans la seconde partie, nous essayons de déterminer dans quelles situations et dans quelle mesure les maillages hexaédriques, et hex-dominants générés précédemment, sont plus intéressants que les maillages tétraédriques. Ceci implique spécifiquement d'étudier plusieurs manières d'effectuer des simulations par éléments finis avec les maillages hybrides, dont une approche où nous utilisons des contraintes de continuité pour maillages non-conformes. Pour mesurer l'influence du maillage sur l'approximation des solutions, nous proposons une nouvelle méthode d'échantillonnage pour calculer très efficacement des distances globales entre solutions éléments finis définies sur des domaines compliqué