Échantillonnage pour l'approximation de fonctions sur des maillages

Digitalisation is an operation which consists in storing an object in a computer for further manipulation using data processing tools. In this document, we are interested in the digitalisation of three-dimensional objects. It is first a matter of recording the shape of the object. Many methods have been developed to address this problem, and we will focus on objects described as meshes. On such objects the storage of attributes like colour, temperature or electrical charge is often useful, depending on the application. We will describe two complementary approaches to deal with this issue. The first one relies on texture mapping. This technique consists in unfolding ? parametrising ? the mesh on a flat image in which the attribute is stored. A value recovered from the image can therefore be associated with each point of the object. We will describe a method which hides the seam artifact, commonly encountered using this technique. Unfolding the mesh demands that its quality be good, which is not always the case. We thus secondly describe a surface sampling method based on a restricted Voronoï diagram. We especially detail how to efficiently compute such an object and how to optimise it with respect to some quality measure. These results are then applied to the surface fitting problemLa numérisation est un procédé qui consiste à enregistrer un objet dans un ordinateur pour pouvoir ensuite le manipuler à l'aide d'outils informatiques. Nous nous intéressons dans ce manuscrit à la numérisation d'objets tridimensionnels. Il s'agit tout d'abord d'enregistrer leur forme. De nombreuses méthodes ont été développées pour répondre à ce problème, et nous nous concentrerons sur les objets représentés par des maillages. Sur ces objets, il est alors utile de pouvoir représenter des attributs tels que la couleur, la température ou la charge électrique, selon l'application. Nous proposons deux approches complémentaires pour aborder ce problème. La première est fondée sur le placage de textures. Cette technique consiste à déplier (paramétrer) le maillage à plat sur une image dans laquelle l'attribut est stocké. Une valeur récupérée dans l'image est ainsi associée à chaque point de l'objet. Nous proposerons une méthode permettant de masquer l'artéfact des coutures qui est inhérent à cette technique. Déplier le maillage nécessite qu'il soit de bonne qualité, ce qui n'est pas toujours le cas. Nous décrivons donc également dans un second temps une approche de l'échantillonnage d'une surface via un diagramme de Voronoï restreint. Nous expliquons en particulier comment calculer efficacement un tel objet et comment l'optimiser par rapport à un critère de qualité. Ces résultats sont ensuite appliqués au problème de l'ajustement de surface