Des Twisteurs de Penrose aux Trois-Formes de Hitchin : nouvelles Perspectives sur la Gravité d'Einstein

In this thesis we take Einstein theory in dimension four seriously, and explore the special aspects of gravity in this number of dimension.Among the many surprising features in dimension four, one of them is the possibility of `Chiral formulations of gravity' - they are surprising as they typically do not rely on a metric. Another is the existence of the Twistor correspondence. The Chiral and Twistor formulations might seems different in nature. In the first part of this thesis we demonstrate that they are in fact closely related. In particular we give a new proof for Penrose's `non-linear graviton theorem' that relies on the geometry of SU(2)-connections only (rather than on metric).In the second part of this thesis we describe partial results towards encoding the full GR in the total space of some fibre bundle over space-time. We indeed show that gravity theory in three and four dimensions can be related to theories of a completely different nature in six and seven dimension respectively. This theories, first advertised by Hitchin, are diffeomorphism invariant theories of differential three-forms.Starting with seven dimensions, we are only partially succesfull: the resulting theory is some deformed version of gravity. We however found that solutions to a particular gravity theory in four dimension have a seven dimensional interpretation as G2 holonomy manifold. On the other hand by going from six to three dimension we do recover three dimensional gravity. As a bonus, we describe new diffeomorphism invariant functionnals for differential forms in six dimension and prove that two of them are topological.Dans cette thèse nous explorons les aspects de la gravité d'Einstein qui sont propres à la dimension quatre.L'une des propriétés surprenantes liées à cette dimension est la possibilité de formuler la gravité de manière 'Chirale'. Dans ce type de reformulations, typiquement, la métrique perd son rôle centrale. La correspondance entre espace-temps et espace des twisteurs est un autre aspect propre à la dimension quatre. Ces formulations, Chirale et Twistorielle, semblent très différentes. Dans la première partie de cette thèse nous montrons qu'elles sont en fait intimement liées: en particulier nous proposons une nouvelle preuve du `théorème du graviton non-linéaire', due à Penrose, dont le cœur est la géométrie des SU(2)-connections (plutôt qu'une métrique). Dans la seconde partie de cette thèse nous montrons que la gravité en trois et quatre dimensions est liée à des théories d'une nature complètement différentes en dimension six et sept. Ces théories, due à Hitchin, sont des théories de trois-formes différentielles invariantes sous difféomorphismes. En dimensions sept, nous rencontrons seulement un succès partiel puisque la théorie 4D qui en résulte est une version modifiée de la gravité. Cependant nous prouvons au passage que les solutions d'une déformation particulière de la gravité ont, en 7D, l’interprétation de variétés avec holonomies G2.Par contre, en réduisant la théorie de six à trois dimensions nous obtenons précisément la gravité 3D. Nous présentons aussi de nouvelles fonctionnelles pour les formes différentielles en six dimensions. Toutes sont invariantes sous difféomorphismes et deux d’entre elles sont topologiques