Metrica di Gromov-Hausdorff ed esistenza di geodetiche

Nella tesi costruiamo una metrica, nota con il nome di metrica di Gromov-Hausdorff, che permette di ”calcolare” la distanza tra due spazi metrici compatti qualsiasi e dimostriamo due teoremi per questo ”spazio metrico di spazi metrici”, uno di completezza ed uno di compattezza, dovuti a Gromov. Introduciamo successivamente la nozione di spazio metrico di lunghezza e risolviamo infine il problema dell’esistenza di geodetiche in spazi metrici, dimostrando teoremi di esistenza in contesto classico - ricorrendo alle nozioni di variazione totale e derivata metrica e in constesto misura-teoretico facendo uso del teorema di ”semicontinuit`a” di Go la