Formules de trace en niveau primaire et non annulation de valeurs centrales de fonctions L automorphes

The study of the analytical properties of the modular L-functions is a deep subject in number theory. Up to now, the properties have essentially been established in the case of prime or squarefree level. The aim of this thesis is to give the analytic properties in the arithmetically opposite case of prime power level. The family of L-functions under consideration is the one obtained when the valuation of the level is varying. In particular, we provide a trace formula that allows to compute the third moment of the central values of modular L-functions and to study the vanishing of these L values.L'étude des propriétés analytiques des fonctions L de formes modulaires est un thème profond de la théorie des nombres. Jusqu'à présent, les propriétés ont essentiellement été établies dans le cas des formes de niveau premier ou sans facteur carré. L'objet de cette thèse est d'établir les bases de l'analyse dans le cas arithmétiquement opposé des niveaux primaires, c'est-à-dire puissances d'un nombre premier. La famille de fonctions L considérée est alors celle obtenue en faisant varier la valuation du niveau. En particulier, on établit une formule de trace qui permet de calculer le troisième moment des valeurs centrales de fonctions L de formes modulaires et d'étudier l'annulation de ces valeurs centrales