Contribution à l'étude des processus stochastiques sur les groupes quantiques

In this thesis stochastique processus on Hopf algebras are studied. These algebras, also known under the name quantum group, play in important role in mathematical physics. A major part of this workis concerned with Lévy processes, i.e. processes with stationary and independent increments. Two construction are proposed, one starts from a classical Lévy process, the other one uses quantom random walks. These pro cesses are then studied with the help of dual representations and Appell systems. This has allowed us to prove an analogue of the Feynman-Kac formula, and to study the relation between the processes and their evolution equations. Dual representations are also used to give sufficient conditions for the existence of classical versions of Lévy processes on bialgebras, and to calculate the classical generators. Several examples including the Azéma martingale are treated in detail.Ce mémoire est relatif à l'étude des processus stochastiques sur les algèbres de hopf. Ces algèbres jouent un rôle important en physique mathématique sous le nom groupes quantiques. Une grande partie de cette thèse est consacrée à l'étude des processus de levy, c.-à-d. des processus à accroissements indépendants et stationnaires, sur ces algèbres. Deux constructions, soit à partir d'un processus de levy classique, soit à partir d'une marche aléatoire quantique, sont proposées. Ces processus sont ensuite étudiés à l'aide des représentations duales et de leurs systèmes d'appel. En particulier, ceci a permis de démontrer une formule de Feynman-kac et d'établir un lien étroit entre ces processus et des équations d'évolution sur les groupes quantiques. Les représentations duales sont également utilisées pour donner des conditions suffisantes pour l'existence de versions classiques des processus de levy sur des bigebres et pour les caractériser. Plusieurs exemples, y compris la martingale d'Azéma, sont traités en détail. Un autre thème central de ce travail est la caractérisation des lois de gauss au sens de Bernstein. Il est montré comment les fonctionnelles ainsi que les semi-groupes de convolution sur des algèbres de hopf qui satisfont l'analogue de la propriété de Bernstein peuvent être calculés. Il est aussi démontré que le plongement d'une fonctionnelle normée infiniment divisible dans un semi-groupe de convolution continu sur un groupe quantique nilpotent ou sur un groupe tresse nilpotent est unique. Finalement, plusieurs théorèmes limites (loi des grands nombres, théorème de la limite centrale, etc.) sur les groupes quantiques sont présentés