Méthodes de résolution d'équations algébriques et d'évolution en dimension finie et infinie

In this work, we solve algebraic and evolution equations in finite and infinite-dimensional sapces. In the first chapter, we use the Galerkin method to study existence and maximal regularity of solutions of a gradient abstract system with applications to non-linear diffusion equations and to non-degenerate quasilinear parabolic equations with nonlocal coefficients. In the second chapter, we Study local existence, uniqueness and maximal regularity of solutions of the curve shortening flow equation by using the local inverse theorem. Finally, in the third chapter, we solve an algebraic equation between two Banach spaces by using the continuous Newton?s method and we apply this result to solve a non-linear ordinary differential equation with periodic boundary conditions.Dans la présente thèse, on s'intéresse à la résolution de problèmes algébriques et d'évolution en dimension finie et infinie. Dans le premier chapitre, on a étudié l'existence globale et la régularité maximale d'un système gradient abstrait avec des applications à des problèmes de diffusion non-linéaires et à une équation de la chaleur avec des coefficients non-locaux. La méthode utilisée est la méthode d'approximation de Galerkin. Dans le deuxième chapitre, on a étudié l'existence locale, l'unicité et la régularité maximale des solutions de l'équation de raccourcissement des courbes en utilisant le théorème d'inversion locale. Finalement, dans le dernier chapitre, on a résolu une équation algébrique entre deux espaces de Banach en utilisant la méthode de Newton continue avec une application à une équation différentielle avec des conditions aux limites périodique