Estimation non-paramétrique de l'intensité d'un processus de Poisson

En sciences expérimentales, les observations sont souvent modélisées comme la somme d'un signal "idéal" et d'un bruit. Dans ce cas, les scientifiques désirent estimer ce signal car il possède l'information recherchée. Donoho et Johnstone (Donoho et al. (1994)) proposent d'estimer au moyen d'ondelettes un signal plongé dans un bruit Gaussien. Leur technique consiste en trois étapes. Premièrement, le signal observé est décomposé dans une base d'ondelettes qui concentre l'énergie du signal "idéal" sur un nombre restreint de coefficients. Le bruit est quant à lui uniformément réparti sur tous les coefficients. Deuxièmement, ces coefficients bruités sont seuillés. Finalement, la transformation inverse est appliquée. Le seuil utilisé dépend de la variance du bruit Gaussien mais est indépendant des paramètres temps et échelle des coefficients. Cependant, en HREELS (High Resolution Electron Energy Loss Spectroscopy) comme dans d'autres problèmes physiques, les données enregistrées ne sont pas modélisées avec un bruit Gaussien mais bien comme des réalisations d'un processus de Poisson. Dans cette optique, Kolaczyk (Kolaczyk (1996)) généralise le filtrage d'un bruit Gaussien à un cas particulier de bruit "Poissonien". En effet, sa technique consiste à décomposer le signal observé dans une base d'ondelettes, à seuiller les coefficients bruités et à appliquer la transformation inverse. Le seuil utilisé dépend cette fois du paramètre échelle des coefficients d'ondelettes. Nous constatons que sa méthode ne s'applique qu'à un certain type de processus de Poisson car l'hypothèse nulle de son modèle considère que la fonction intensité du processus est une fonction constante strictement positive. Ainsi, des signaux avec de grandes variations d'intensité ne sont pas correctement débruités. Sur les traces de Kolaczyk, nous introduisons une méthode de filtrage adaptée cette fois-ci à tout bruit "Poissonien". Notre technique consiste toujours à décomposer le signal observé dans une base d'ondelettes, à seuiller les coefficients bruités et à appliquer la transformation inverse. Cependant, le seuil utilisé dépend des paramètres temps et échelle des coefficients d'ondelettes. L'hypothèse nulle de notre modèle considère que la fonction intensité du processus est une fonction en escalier. Nous avons mis en évidence l'efficacité de cette technique en comparant les résultats obtenus avec ceux fournis par l'algorithme TIPSH de Kolaczyk. L'algorithme reste aussi rapide que celui de Donoho-Johnstone ou celui de Kolaczyk. Enfin, cette méthode est appliquée dans divers problèmes physiques dont l'HREELS et l'XPS (X-ray Photoelectron Spectroscopy). Nous la mettons également à profit dans le traitement d'images