Estimation par maximum de vraisemblance des lagrangiens des distributions a maximum d'entropie

Le problème classique du Maximum d'Entropie (ME) est la détermination d'une loi de probabilité pour une variable aléatoire X connaissant les espérances μn = E{Φn(x)}, n=0,..., N de fonctions Φn(x) connues. La solution dépend alors de N+1 multiplicateurs de Lagrange X qui sont déterminés en résolvant un système d'équations non linéaires résultant de ces contraintes. Le problème abordé ici est différent. Nous ne disposons pas directement des valeurs de μn, mais d'un M-échantillons x = [x1,..., xM] de X. Nous montrons alors l'équivalence entre les deux chemins suivants: i) Déterminer les μn par leur estimateurs empiriques et utiliser ensuite l'approche ME pour déterminer les paramètres λ, ii) Supposer que X suit une loi à ME p(x; λ), ce qui fixe la forme et le nombre de paramètres de la loi, et utiliser l'approche du maximum de vraisemblance (MV) pour estimer ces paramètres. L'intérêt éventuel de ces développements réside dans la détermination des paramètres d'une loi a priori pour une image dans l'approche bayésienne pour la résolution des problèmes inverses que l'on rencontre en restauration et en reconstruction d'image