Optimisation du gain d'une boucle a verrouillage de phase en mode de poursuite

On considère la poursuite d'une phase Φk, variable au cours du temps, par une boucle de phase adaptive du type φk+1 = φk + λΔk où λ est le gain (positif) de la boucle, et Δk un incrément lié à l'erreur de phase en sortie de la boucle. La phase variable Φkaffecte multiplicativement un signal complexe ak aléatoire mais connu de puissance A et l'observation est en outre entachée d'un bruit (complexe) additif bk de puissance B. Le signal d'erreur ekqui contrôle la boucle de phase inclut donc l'information ak(ejΦk- eJφk) sur l'erreur de phase, mais aussi le bruit bk. La boucle est conçue pour minimiser l'erreur e = E(|ek|2), passé le régime transitoire d'initialisation. Pour cela on utilise classiquement pour Δk le gradient stochastique de |ek|2. Les performances de cet algorithme dépendent du rapport signal sur bruit A/B, mais aussi de la puissance d2 des variations temporelles dk = Φk+1 - Φk de la phase à poursuivre. Dans le présent travail nous démontrons le découplage de l'erreur e en deux termes indépendants, l'erreur de fluctuations, due au seul bruit bk et proportionnelle à λ et l'erreur de retard due seulement aux variations de phase dk et qui décroît si λ croît. Nous montrons que le fonctionnement de la boucle, caractérisé par son gain optimal λopt et son erreur minimale εmin, est entièrement déterminé par le paramètre y = d(A/B)½ que nous avons dénommé degré de non stationnarité. Le cas le plus intéressant est celui des variations lentes dans lequel y est très inférieur à 1. Nous effectuons une étude comparative de l'optimisation de la boucle à partir de deux modèles différents pour les incréments de phase dk : un modèle déterministe qui décrira bien la dérive de fréquence, et un modèle aléatoire centré mieux adapté à la gigue de phase. Les deux modèles conduisent à un gain normalisé Aλopt fonction croissante du seul degré y de non stationnarité. La dépendance est respectivement en y2/3 et en y pour le modèle déterministe et pour le modèle aléatoire. Ainsi le choix du gain doit-il être beaucoup plus grand pour une phase déterministe que pour une phase aléatoire. L'erreur εmin qui en résulte est elle aussi très supérieure. On peut en conclure que le modèle aléatoire centré pour les incréments de phase est en général trop optimiste