Extraction des vecteurs propres de matrices de toeplitz

Le problème de l'extraction des vecteurs propres d'une matrice de Toeplitz R est commun à des nombreux domaines : en analyse du signal, elle est la base de la décomposition de Karhunen Loève ; en théorie des antennes, elle permet la détection du nombre de sources et de leur orientation ; en modélisation, elle constitue le fondement de la détection de sinusoïdes dans le bruit (méthodes du type Pisarenko). Dans un premier temps, on montre comment les techniques classiques peuvent être accélérées par l'utilisation du caractère Toeplitz. Ainsi la recherche du vecteur propre correspondant à la valeur propre minimale peut être entreprise par la méthode de la puissance itérée appliquée à l'inverse de R déterminée par l'algorithme de Trench ou à la matrice (σs I - R) où σ est une borne supérieure de la valeur propre maximale déterminée de façon spécifique. Mais l'approche la plus fructueuse consiste à développer des techniques spécifiques. On propose ici des solutions utilisant fondamentalement dans la boucle d'itération l'algorithme de Levinson. La recherche du vecteur propre est menée en profitant de la convergence de la solution vers la prédiction linéaire usuelle. La valeur propre est estimée par un développement limité de l'adjointe ou par l'algorithme du Point Fixe. On introduit une méthode, appelée du Faisceau Singulier, qui intègre dans l'itération de Levinson un premier pas de la puissance itérée. Cette méthode, dont la convergence vers la plus petite valeur propre n'est cependant pas prouvée dans tous les cas, paraît fournir un bon compromis entre précision et temps de calcul. La procédure converge en quelques itérations (∼ 4,5) pour des dimensions moyennes (∼ 10) avec un coût de calcul très inférieur aux méthodes classiques