Rebuilt by migration of undersempled 2D signals

Active geophysical prospecting techniques (seismics, ground penetrating radar) are based on the measurement of a reflecte d signal . This measurement is done for different points in the space and gives an image of reflected signal amplitude versus tim e (range) and versus one direction in space (x) . We use this data to rebuild an image of the subsurface . But the fact that directivit y of transmitter and receiver is low, induces that the image versus x and t is not equivalent to the subsurface image (x, z) . Migratio n techniques are developed to derive the subsurface image . In this paper, we use the f - k migration technique which gives a solution of the wave equation in the frequency-wavenumber domain and we study the effect of undersampling in the time domain on this method . We describe a method to characterize thi s effect and estimate the real wavelet . We calculate the analytic result of migration of undersampled signal for a simple reflector. We find that the correctly sampled part of the signal is focused by migration and the aliased part is spread out from this calculation . We deduce a method to rebuild the well-sampled 2D signal . The weakness of this technique is a decrease of the signal to nois e ratio and the generation of spurious images . We discuss all aspects of this new technique on synthetic data . The wavelet estimation and the frequency—wavenumber migration are applied to the ground penetrating data acquired i n Antarctica by the radar developed for Mars'98 mission.Active geophysical prospecting techniques (seismics, ground penetrating radar) are based on the measurement of a reflecte d signal . This measurement is done for different points in the space and gives an image of reflected signal amplitude versus tim e (range) and versus one direction in space (x) . We use this data to rebuild an image of the subsurface . But the fact that directivit y of transmitter and receiver is low, induces that the image versus x and t is not equivalent to the subsurface image (x, z) . Migratio n techniques are developed to derive the subsurface image . In this paper, we use the f - k migration technique which gives a solution of the wave equation in the frequency-wavenumber domain and we study the effect of undersampling in the time domain on this method . We describe a method to characterize thi s effect and estimate the real wavelet . We calculate the analytic result of migration of undersampled signal for a simple reflector. We find that the correctly sampled part of the signal is focused by migration and the aliased part is spread out from this calculation . We deduce a method to rebuild the well-sampled 2D signal . The weakness of this technique is a decrease of the signal to nois e ratio and the generation of spurious images . We discuss all aspects of this new technique on synthetic data . The wavelet estimation and the frequency—wavenumber migration are applied to the ground penetrating data acquired i n Antarctica by the radar developed for Mars'98 mission.Les techniques de prospection géophysique active (sismique, radar géophysique) reposent sur la mesure d'un signal réfléchi. Cette mesure est effectuée en différents points de l'espace, elle fournit une image de l'amplitude du signal réfléchi en fonction du temps et d'une dimension de l'espace (x). A partir de ces données, nous cherchons à obtenir une coupe du sous-sol. Mais, du fait de la faible directivité des capteurs et des sources utilisées, l'image en temps et en espace n'est pas immédiatement transposable en une image fonction de deux dimensions de l'espace (x, z), d'où l'utilisation des techniques de migration pour la reconstruire. Nous nous intéresserons ici à la migration f - k qui donne une solution de l'équation de propagation dans l'espace des fréquences et des nombres d'onde, et à son comportement face au sous-échantillonnage temporel. Pour cela, nous développerons une méthode de caractérisation du sous-échantillonnage et d'estimation de l'ondelette émise. Ensuite, nous calculerons analytiquement le résultat de la migration d'un signal sous-échantillonné dans le cas d'un réflecteur simple. Ce calcul montre que la partie correctement échantillonnée du signal est focalisée par la migration, tandis que la partie repliée est étalée. Nous en déduirons une méthode de compensation du repliement fondée sur la cohérence spatiale du signal. Cette compensation - partielle - se fait au détriment du rapport signal sur bruit et peut générer des fantômes. Nous discuterons les différents aspects de cette nouvelle méthode: des simulations permettront de caractériser les performances de la méthode. Nous appliquerons l'estimation de l'ondelette et la migration aux signaux réels acquis en Antarctique par le radar géophysique développé pour la mission spatiale Mars'98