Extremal bounds of Gaussian Gabor Frames and properties of Jacobi's Theta Functions

In dieser Arbeit werden scharfe Schranken von Gabor Frames mit einem Gauss Fenster studiert. Es wird untersucht, wie sich die Frame Schranken in Abhängigkeit des Gitters verändern und zwei offene Vermutungen bezüglich dieses Verhaltens werden teilweise gelöst. Für separable Gitter derselben Dichte wird in Spezialfällen bewiesen, dass das quadratische Gitter die größte untere und die kleinste obere Schranke liefert. Für allgemeine Gitter mit fester Dichte wird in Spezialfällen bewiesen, dass das hexagonale Gitter die kleinste obere Schranke liefert. Die Beweise machen es erforderlich Theta Funktionen auf Gittern zu studieren. Im Fall von separablen Gittern zerfallen die Theta Funktionen in Produkte der klassischen Jacobi Theta Funktionen. Um die erwünschten Resultate zu erzielen, werden neue Eigenschaften der Jacobi Theta Funktionen gezeigt.This work deals with sharp frame bounds of Gabor frames using a Gaussian window. We investigate how the frame bounds change in dependence of the underlying lattice and we partially solve two open problems concerning this behavior. For separable lattices of same, special density we will show that the square lattice maximizes the lower frame bound and minimizes the upper frame bound. For general lattices of fixed, special density we prove that the hexagonal lattice minimizes the upper frame bound. In order to establish the results we have to study theta functions on lattices. In the separable case, these functions split into products of the classical Jacobi theta functions. To derive the desired results new properties of Jacobi's theta functions are proved