Reconstruction of isotropic conductivities from non smooth electric fields

International audienceIn this paper we study the isotropic realizability of a given non smooth gradient field $\nabla u$ defined in $\RR^d$, namely when one can reconstruct an isotropic conductivity $\si>0$ such that $\si\nabla u$ is divergence free in $\RR^d$. On the one hand, in the case where $\nabla u$ is non-vanishing, uniformly continuous in $\RR^d$ and $\triangle u$ is a bounded function in $\RR^d$, we prove the isotropic realizability of $\nabla u$ using the associated gradient flow combined with the DiPerna, Lions approach for solving ordinary differential equations in suitable Sobolev spaces. On the other hand, in the case where $\nabla u$ is piecewise regular, we prove roughly speaking that the isotropic realizability holds if and only if the normal derivatives of $u$ on each side of the gradient discontinuity interfaces have the same sign. Some examples of conductivity reconstruction are given.Dans cet article on \'etudie la r\'ealisabilit\'e isotropique d'un champ de gradient non r\'egulier $\nabla u$ d\'efini dans $\RR^d$, c'est-\`a-dire la possibilit\'e de reconstruire une conductivité\'e isotrope $\si>0$ telle que $\si\nabla u$ soit \`a divergence nulle dans $\RR^d$. D'une part, dans le cas o\`u $\nabla u$ ne s'annule pas dans $\RR^d$, est uniform\'ement continu sur $\RR^d$ et $\triangle u$ est born\'e dans $\RR^d$, on obtient que $\nabla u$ est isotropiquement r\'ealisable dans $\RR^d$ en utilisant le flot du gradient combin\'e avec l'approche de DiPerna, Lions de la r\'esolution des \'equations diff\'erentielles ordinaires dans des espaces de Sobolev convenables. D'autre part, dans le cas o\`u $\nabla u$ est r\'egulier par morceaux, sous des hypoth\`eses g\'eom\'etriques {\em ad hoc} on montre que $\nabla u$ est isotropiquement r\'ealisable si et seulement si les d\'eriv\'ees normales de $u$ de chaque c\^ot\'e des surfaces de discontinuit\'e du gradient ont le m\^eme signe. On illustre ces r\'esultats par quelques exemples de reconstruction