Exponential networks and representations of Quivers

We study a geometric description of BPS states in supersymmetric theories with eight supercharges in terms of geodesic networks on suitablespectral curves. We lift and extend several constructions of Gaiotto-Moore-Neitzke from gauge theory to local Calabi-Yau threefolds and related models. The differential is multi-valued on the coveringcurve and features a new type of logarithmic singularity in order to account, respectively, for D0-branes and non-compact branes.We describe local rules for the three-way junctions of BPS trajectories relative to a particular framing of the curve. We reproduce BPS quivers of local geometries and illustrate the wall-crossing of finite-mass bound states. We describe first steps toward understanding the spectrum offramed BPS states in terms of such "exponential networks". We verify that in the gauge theory limit of geometric engineering, we recover the gauge theory spectral networks. We explore networks on curves associated to the knot-labelled mirrors of the resolved conifold proposed by Aganagic-Vafa.Nous étudions la description géométrique des états BPS dans les théories comprenant huit supercharges en termes de réseaux géodésiques sur des courbes spectrales appropriées. Nous soulevons et étendons plusieurs constructions de Gaiotto-Moore-Neitzke de la théorie de jauge aux modèles basés sur les variétés Calabi-Yau locales. Le différentiel est à valeur multiple sur la courbe couvert et possède un nouveau type de singularité logarithmique, pour accommoder respectivement la brane D0 et les branes non-compactes. Nous décrivons les règles locales des jonctions trois-voies de trajectoires BPS relativement à un cadrage particulier de la courbe. Nous reproduisons le carquois BPS des géométries locales et illustrons le traversée de mur (wall-crossing) des états liés de masse finie. Nous décrivons les premières étapes vers une compréhension du spectre des états BPS cadrés en terme de ces "réseaux exponentiels". Nous vérifions que dans la limite théorie de jauge de la construction génie-géométrique (geometric engineering), nous retrouvons les réseaux spectraux de théorie de jauge. Nous explorons les réseaux sur les courbes associées aux miroirs du conifold résolu étiquetés par les noeuds, proposés par Aganagic-Vafa