A matemática dos calendários

Mestrado em Matemática para ProfessoresAo longo da historia da humanidade, os diferentes povos sempre demonstraram uma preocupação em definir datas e eventos. Neste sentido, pretende-se com este trabalho compreender as relações entre certos fenómenos da natureza, nomeadamente o ciclo da lua e o ciclo do sol na implementação dos calendários. Repara-se que os calendários são baseados nas observações astronómicas, e que a duração destes ciclos não corresponde a um número inteiro de dias, levando por isso a diferentes problemas, quando se tenta organizar os dias em períodos de tempo fixos. Na tentativa de solucionar este problema, foram criados calendários com um numero inteiro de dias, onde cada sociedade usou ou usa o fenómeno mais adaptado à sua situação geográfica, religiosa e política. Constatou-se a existência de diferentes realidades: por um lado se destacam os povos que viviam em locais onde não existe um sazonalidade acentuada e que ainda hoje utilizam o ciclo lunar, mesmo após ter havido uma grande expansão da sua localização, como é o caso da população muçulmana; por outro lado tem-se os povos onde existem estações do ano bem definidas, nomeadamente o povo egípcio (devido ao comportamento do rio Nilo). Podem associar-se a esta tentativa de organizar o tempo, diferentes aspetos matemáticos, entre os quais os convergentes tirados das frações continuadas e as congruências. Os convergentes utilizados são números racionais muito próximos de certas constantes astronómicas, e as congruências permitem observar a repetição do mesmo padrão ao longo do tempo, para cada calendário. Neste trabalho, foi feita uma analise detalhada do conteúdo matemático, dos calendários estudados, assim como da historia destes calendários. Dos resultados obtidos destaca-se por um lado, o facto de que no calendário gregoriano, utilizado na nossa sociedade, existir a diferença de um dia relativamente ao calendário solar astronómico a cada 3300 anos, e por outro lado, o ano 46 a.C. ter tido 445 dias.Throughout human history, people have always shown a concern about how to mark dates and events. In this sense, the aim of this work was to understand the relationship between certain phenomena of nature, including the cycle of the moon and the cycle of the sun, in the implementation of calendars. Notice that the calendars are based on astronomical observations, and that the duration of these cycles does not correspond to a whole number of days, leading therefore to different problems when one tries to organize the days in fixed periods of time. In an attempt to solve this problem, calendars were created with a whole number of days, where each society group has used or uses the most appropriate phenomenon to its geographical, religious and political situation. It was found that there are different realities: on the one hand stands the people who lived in places where there is a marked seasonality and still use the lunar cycle, even after having been a major expansion of its original location, as is the case of the Muslim population; on the other hand there are people where the seasons are very well defined, in particularly the Egyptian people (due to the behavior of the Nile). Different mathematical aspects may be associated with this attempt to divide the time, including the convergents taken from continued fractions and congruences. The convergents we are going to use are rational numbers that are very close to certain astronomic constants, and congruences will be used to detect the repetition of certain patterns over time for each calendar. In this work, a detailed analysis of the mathematical content of the studied calendars was made, as well as the history of these calendars. From the results we highlight, on the one hand, the fact that in the Gregorian calendar, used in our society, there is a difference of one day, in relation to the solar calendar (astronomical) every 3300 years, and on the other hand, the year 46 ac having had 445 days