Estimation of multivariate distributions under right censoring

Dissertação de mestrado em EstatísticaEm diversos estudos longitudinais, os indivíduos ou itens em observação podem experimentar vários eventos de interesse ao longo de um determinado período de seguimento. Quando o evento de interesse pode ocorrer mais do que uma vez num indivíduo, estes eventos são designados de eventos recorrentes. Este tipo de dados é frequentemente observado em estudos de investigação médica, economia, engenharia e sociologia. Em estudos de investigação médica, os eventos recorrentes podem corresponder a múltiplas ocorrências de hospitalização de um grupo de doentes, múltiplos episódios de recorrência em estudos de cancro, ataques cardíacos repetidos ou múltiplas recaídas de remissão de pacientes com leucemia. A análise destes dados pode ser focada no tempo entre eventos ("gap times") ou nos modelos para o tempo até aos eventos. Nestes estudos, os eventos ordenados sequencialmente e os correspondentes intervalos de tempo constituem tópicos de particular interesse. Neste trabalho, foram consideradas estimativas para a função de distribuição marginal e conjunta de dois intervalos de tempo, na presença de censura aleatória univariada pela direita. Também foram consideradas estimativas para a função de sobrevivência bivariada. A presente dissertação está dividida em seis capítulos. No primeiro capítulo são introduzidos alguns conceitos e notações fundamentais da análise de sobrevivência, que servirão de suporte para os outros capítulos. Assim, são definidas algumas quantidades de interesse, alguns conceitos de estimação pontual e o estimador de Kaplan-Meier. No segundo e terceiro capítulos são apresentados vários estimadores para a função de distribuição e sobrevivência bivariada de tempos sequenciais, na presença de censura pela direita. As extensões destes estimadores, para vários intervalos de tempo, são também discutidas. Novos estimadores para as funções conjuntas (função de distribuição bivariada e função de sobrevivência bivariada) são propostos e as suas extensões para vários intervalos de tempo são também discutidas. Os novos estimadores são baseados na abordagem "landmark" (van Houwelingen, 2007) e na função de risco cumulativa ponderada. O quarto capítulo descreve detalhadamente os estudos de simulação realizados para estudar o comportamento dos estimadores propostos. Nestes estudos de simulação, foram exploradas algumas propriedades desejáveis dos estimadores, recorrendo à média, ao desvio padrão, ao viés e ao erro quadrático médio. Também foram construídos diagramas de extremos e quartis, de forma a avaliar graficamente estes estimadores. No quinto capítulo os métodos propostos são aplicados a uma base de dados real, relativa ao cancro da mama em mulheres alemãs (German breast cancer). Por fim, no sexto capítulo são apresentadas as principais conclusões desta dissertação e são referidos alguns possíveis trabalhos, decorrentes deste estudo, que podem ser realizados.In many longitudinal studies, the individuals and items in observation can experience multiples events of interest during their follow-up. An event of interest can occurs more than once on a individual, when this occurs we are in presence of recurrent events. This type of data is frequently observed in medical studies, economics, engineering and sociology. In medical studies, recurrent events may correspond to multiple hospitalisations of a group of patients, multiple episodes of recurrence in cancer studies, repeated cardiac attacks or multiple remissions of leukemia patients. The analysis of these data can be focused 011 the times between events ("gap times") or on the models for the events times. On this studies, the sequentially ordered events and corresponding gap times, constitute topics of particular interest. In this work, were considered methods to estimate the marginal distribution function and joint distribution function of two gap-times, in the presence of univariate right censoring. Estimators for the bivariate survival function were also considered. The present dissertation is divided in six chapters. On the first chapter some fundamental notation and concepts of survival analysis, that will support others chapters, are introduced. Therefor, are defined some quantities of interest, some concepts of point estimation and the Kaplan-Meier estimator. On the second chapter and third chapter, several estimators are presented for the bivariate distribution and bivariate survival function, under right censoring. The extension of this estimators for various gap-times are also discussed. New estimators for joint functions are proposed and their extensions for multiple gap times are also discused. The new estimators are based on the "landmark" approach and on the weighted cumulative hazard function. The fourth chapter describes in detail the simulation studies carried out to study the behavior of the proposed estimators. In these simulation studies, some desirable properties of the estimators were explored, using the mean, standard deviation, bias and mean square error. Extremes and quartile diagrams were also constructed in order to graphically evaluate these estimators. In the fifth chapter the proposed methods are applied to a real database, concerning breast cancer in German women. Finally, in the sixth chapter, the main conclusions of this dissertation are presented and some possible studies are mentioned, that can be realized