La hiérarchie de Szegő quadratique

The purpose of this paper is to go further into the study of the quadratic Szegő equation, which is the following Hamiltonian PDE : $i \partial_t u = 2J\Pi(|u|^2)+\bar{J}u^2$, $u(0, \cdot)=u_0$, where $\Pi$ is the Szegő projector onto nonnegative modes, and $J = J(u)$ is the complex number given by $J=\int_\mathbb{T}|u|^2u$. We exhibit an infinite set of new conservation laws $\{\ell_k \}$ which are in involution. These laws give us a better understanding of the " turbulent " behavior of certain rational solutions of the equation : we show that if the orbit of a rational solution is unbounded in some $H^s$, $s > 1/2$, then one of the $\ell_k$'s must be zero. As a consequence, we characterize growing solutions which can be written as the sum of two solitons.Le but de cet article est d'approfondir l'étude de l'équation de Szegő quadratique, qui est l'EDP hamiltonienne suivante : $i \partial_t u = 2J\Pi(|u|^2)+\bar{J}u^2$, $u(0, \cdot)=u_0$, où $\Pi$ est le projecteur de Szegő sur les modes positifs, et $J = J(u)$ est un nombre complexe donné par $J=\int_\mathbb{T}|u|^2u$. Nous mettons en évidence une suite infinie de nouvelles lois de conservation $\{\ell_k \}$, qui sont en involution. Ces lois nous permettent de mieux comprendre le comportement "turbulent" de certaines solutions rationnelles de l'équation : nous montrons que, si l'orbite d'une solution rationnelle n'est pas bornée dans un espace $H^s$, $s > 1/2$, alors l'un des $\ell_k$ vaut zéro. En conséquence, nous donnons une caractérisation de telles solutions croissantes qui s'écrivent comme une somme de deux solitons